结论前置：第二次劳动合同到期，员工还在职而公司不签无固定期限劳动合同的，员工确实有权要求赔偿。
法律背景与解释：
无固定期限劳动合同的签订条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当劳动者在用人单位连续工作满十年，或者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
公司不签无固定期限劳动合同的法律后果：
- 如果公司违反上述规定，不与劳动者签订无固定期限劳动合同，那么从应当订立无固定期限劳动合同之日起，公司需要向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定旨在保护劳动者的合法权益，防止公司利用劳动合同期限的设定来规避对劳动者的长期责任。
赔偿的具体计算与主张：
- 赔偿计算：赔偿的金额通常从应当签订无固定期限劳动合同之日起计算，至实际签订之日或者劳动关系终止之日止，按照劳动者月工资的两倍进行计算。但需要注意的是，这一赔偿并非无限期延续，通常会有一定的上限或者时效限制，具体根据当地法律法规和司法实践来确定。
- 主张方式：劳动者可以通过劳动仲裁或者诉讼的方式来主张这一赔偿。在主张过程中，劳动者需要提供相关的证据来证明公司存在不签订无固定期限劳动合同的行为，以及自己的工作年限、工资水平等关键信息。
实际操作中的注意事项：
- 保留证据：劳动者在主张赔偿时，需要保留好与公司的劳动合同、工资单、工作证明等相关证据，以便在劳动仲裁或诉讼中证明自己的权益。
- 及时主张：劳动者在发现公司不签订无固定期限劳动合同后，应及时向公司提出异议，并保留好相关的沟通记录。如果公司拒绝改正，劳动者应及时向劳动仲裁机构或法院提起仲裁或诉讼，以免超过时效限制。
- 咨询专业律师：虽然我在这里提供了一些基本的法律解释和建议，但每个具体案件的情况都是独特的。因此，劳动者在主张赔偿时，最好咨询一位专业的劳动法律师，以便获得更具体、更个性化的法律建议。
进一步思考：
- 在实际操作中，公司可能会以各种理由来拒绝签订无固定期限劳动合同，如声称劳动者不符合签订条件、公司经营状况不佳等。劳动者需要仔细分析公司的理由是否合法合理，并准备好相应的反驳证据。
- 另外，劳动者在主张赔偿时，也可以考虑与公司进行协商和解。通过协商，双方可以达成一个互谅互让的解决方案，既保护了劳动者的合法权益，又维护了公司的正常经营秩序。
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