结论前置：公安机关不予行政立案的法律依据主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释。具体来说，当公安机关认为没有犯罪事实、犯罪事实显著轻微不需追究刑事责任，或存在其他法定不予追究刑事责任的情形时，将不予立案，并需通知控告人不立案的原因。控告人不服可申请复议，被害人还可向人民检察院提出申诉。

详细分析：

1. 没有犯罪事实或犯罪事实显著轻微：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十二条，公安机关对于报案、控告、举报和自首的材料，应迅速审查。若认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任的时候，公安机关将不予立案。这是确保司法资源不被滥用，避免对无辜者进行不必要的调查。例如，轻微的邻里冲突导致的伤害行为，若综合判断社会危害性极小，则可能不属于刑事案件范畴。

2. 其他法定不予追究刑事责任的情形：

   • 除了上述情形外，《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条还列举了其他几种特定情形下，公安机关不应立案追究刑事责任的情况，包括：
     • 犯罪已过追诉时效期限；
     • 经特赦令免除刑罚；
     • 依照刑法告诉才处理的犯罪，没有告诉或者撤回告诉（如侮辱罪、诽谤罪等）；
     • 犯罪嫌疑人、被告人死亡；
     • 其他法律规定免予追究刑事责任的。

3. 不予立案的程序与救济途径：

   • 根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第一百七十八条，公安机关决定不予立案的，应制作不予立案通知书，并在三日以内送达控告人。
   • 控告人对不予立案决定不服的，可以在收到不予立案通知书后七日以内向作出决定的公安机关申请复议；公安机关应当在收到复议申请后三十日以内作出决定，并将决定书送达控告人。控告人对不予立案的复议决定不服的，还可以在收到复议决定书后七日以内向上一级公安机关申请复核；上一级公安机关应当在收到复核申请后三十日以内作出决定。对上级公安机关撤销不予立案决定的，下级公安机关应当执行。案情重大、复杂的，公安机关可以延长复议、复核时限，但是延长时限不得超过三十日，并书面告知申请人。
   • 若被害人认为公安机关应当立案侦查而不立案，还可以向人民检察院提出。人民检察院将要求公安机关说明不立案的理由，并根据情况通知公安机关立案，从而进一步保障被害人的合法权益。

法律建议：

• 如果您遇到了公安机关不予立案的情况，首先应当要求公安机关出具书面的《不予立案通知书》，并详细了解不立案的具体原因。
• 若您认为公安机关的不立案决定有误，可以在规定时间内向作出决定的公安机关申请复议，或向上一级公安机关或同级人民检察院提出复核或申诉。
• 在此过程中，建议您保留好所有相关证据和材料，以便在复议或申诉过程中提供有力的支持。

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