关于您提出的“爸爸居留，儿子可以当兵吗”的问题，这主要涉及到征兵过程中的政治考核环节。以下是我根据现有信息为您提供的详细解答：

首先，需要明确的是，征兵的政治考核主要是以应征青年本人的政治思想表现为主。然而，家庭成员的情况，包括父母，也会在一定程度上影响政治考核的结果。

1. 关于父亲居留的情况：

   • 如果您所说的“居留”是指父亲持有外国永久居留证或已加入外国国籍，那么根据相关规定，子女可以参加普通兵的征集，但不能参加政治条件兵的征集。政治条件兵通常对政治背景有更为严格的要求。

2. 关于父亲犯罪记录的情况：

   • 如果父亲有犯罪记录，但并非因为危害国家安全行为受到刑事处罚，或者没有组织、参加、支持民族分裂、暴力恐怖、宗教极端等非法组织，也不是邪教、有害气功组织或者黑社会性质的组织成员，那么一般情况下，这不会直接影响子女的政治考核。但最终结论仍需以政治考核组依据有关规定和实际情况综合确定。

3. 其他影响因素：

   • 除了上述情况外，如果家庭成员有规定的违法违纪情形，或者应征青年本人或父母有失信行为（虽然失信行为本身不属于刑事处罚，不影响参军入伍，但如果因为失信行为影响正常服役的，也不宜应征），这些都可能在一定程度上影响政治考核的结果。

4. 建议与行动：

   • 如果您或您的家庭成员存在上述可能影响政治考核的情况，建议您在报名参军前，先咨询当地征兵办公室或相关部门，了解具体的政策和要求。
   • 同时，您也可以积极准备其他方面的参军条件，如身体素质、文化成绩等，以增加自己参军的成功率。

最后，需要强调的是，征兵的政治考核是一个综合评估的过程，不仅考虑应征青年本人的情况，还会考虑家庭成员的情况。因此，在报名参军前，建议您全面了解相关政策，做好充分的准备。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时联系当地征兵办公室或相关部门进行咨询。