结论：儿媳妇离婚后多次诬告诽谤、敲诈勒索婆家，婆家完全可以提出起诉追究其责任。以下从不同角度进行详细分析：
一、诬告诽谤的法律责任
诬告陷害罪：
- 如果儿媳妇故意捏造事实诬告婆家成员犯罪，意图使婆家成员受到刑事追究，且情节严重，可能构成诬告陷害罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百四十三条的规定，犯诬告陷害罪的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；造成严重后果的，处三年以上十年以下有期徒刑。
诽谤罪：
- 如果儿媳妇公然侮辱婆家成员或者捏造事实诽谤婆家成员，情节严重的，可能构成诽谤罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百四十六条的规定，犯诽谤罪的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。但需注意，诽谤罪一般属于告诉才处理的案件，即婆家成员需要自行向法院提起诉讼。
二、敲诈勒索的法律责任
- 如果儿媳妇以非法占有为目的，对婆家成员使用威胁或要挟的方法，强行索要公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，可能构成敲诈勒索罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百七十四条的规定，犯敲诈勒索罪的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑，并处罚金。
三、婆家的维权途径
刑事自诉：
- 对于诽谤罪等告诉才处理的犯罪，婆家成员可以直接向法院提起刑事自诉，要求追究儿媳妇的刑事责任。
刑事附带民事诉讼：
- 在提起刑事自诉的同时，婆家成员还可以提起刑事附带民事诉讼，要求儿媳妇赔偿因诬告诽谤、敲诈勒索行为所造成的经济损失和精神损害。
民事诉讼：
- 如果儿媳妇的诬告诽谤、敲诈勒索行为未构成犯罪，但给婆家成员造成了名誉损害或经济损失，婆家成员还可以单独提起民事诉讼，要求儿媳妇承担民事责任，如赔礼道歉、赔偿损失等。
四、建议与注意事项
收集证据：
- 婆家成员在提起诉讼前，应尽可能收集儿媳妇诬告诽谤、敲诈勒索的证据，如聊天记录、录音录像、证人证言等，以便在诉讼中证明自己的主张。
咨询专业律师：
- 由于刑事诉讼和民事诉讼涉及复杂的法律程序和证据规则，婆家成员在提起诉讼前应咨询专业律师，了解诉讼风险和维权策略。
保持冷静与理性：
- 在处理此类纠纷时，婆家成员应保持冷静与理性，避免采取过激行为或言语攻击，以免加剧矛盾或给自己带来不必要的法律风险。
综上所述，儿媳妇离婚后多次诬告诽谤、敲诈勒索婆家，婆家完全有权提出起诉追究其责任。在维权过程中，婆家成员应收集证据、咨询专业律师并保持冷静与理性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。