结论：针对您描述的房租支付问题，若租客在12月10日仍未支付剩余房租，房东有权采取一系列合法措施来维护自己的权益。以下是从不同角度对此问题的详细分析：

一、合同角度

1. 合同条款：首先，需要查看租赁合同中关于房租支付的具体条款。如果合同中明确规定了房租的支付时间、金额以及逾期支付的违约责任，那么租客未按时支付剩余房租即构成违约。

2. 违约责任：根据合同条款，房东可以要求租客承担违约责任，这可能包括支付逾期利息、违约金或者解除租赁合同等。具体违约责任应依据合同中的约定来确定。

二、法律角度

1. 《民法典》相关规定：根据《中华人民共和国民法典》中关于租赁合同的规定，租客有义务按照约定的时间和金额支付房租。如果租客未按时支付，房东有权要求租客支付房租并承担违约责任。

2. 催告与解除合同：在租客逾期支付房租的情况下，房东可以先进行催告，要求租客在合理期限内支付。如果租客在催告后仍不支付，房东有权解除租赁合同，并要求租客搬离租赁房屋。

三、实际操作建议

1. 发送催告函：房东可以向租客发送书面催告函，明确要求租客在指定日期前支付剩余房租，并告知逾期支付的后果。

2. 协商解决：在发送催告函后，房东可以与租客进行协商，尝试达成和解协议，如分期支付剩余房租等。

3. 法律途径：如果协商无果，房东可以向法院提起诉讼，要求租客支付剩余房租及承担违约责任。在诉讼过程中，房东需要提供租赁合同、催告函等相关证据来支持自己的主张。

四、可能面临的法律后果

1. 租客承担违约责任：如果租客被认定违约，可能需要支付逾期利息、违约金等费用，甚至可能面临被解除租赁合同的风险。

2. 房东权益受损：如果房东未能及时采取措施维护自己的权益，可能会导致房租长期拖欠，进而影响房东的正常生活和经营。

具体行动建议：

• 立即行动：不要拖延，尽快与租客沟通或发送催告函，明确表达您的诉求和期望。
• 保留证据：确保保存好租赁合同、支付记录、催告函等所有相关证据，以备不时之需。
• 寻求专业帮助：如果您在处理此过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。

总之，面对租客逾期支付房租的情况，房东应积极采取措施维护自己的权益，同时也要注意遵守法律法规和合同约定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。