签订劳动合同的公司管理主要涉及公司内部的人力资源部门，同时也可能涉及法务部门和行政部门，而从外部监管的角度，则主要由人力资源和社会保障局（人社局）及其下属机构负责。以下是对这一问题的详细分析：
一、公司内部管理
人力资源部门：
- 核心职责：人力资源部门是公司中负责劳动合同签订及相关人事管理工作的核心部门。它负责制定并执行劳动合同签订和管理的相关政策及流程，包括明确劳动合同的条款、签订期限、续签和终止条件等。
- 具体工作：人力资源部门还负责员工的招聘工作，并在确定录用后与应聘者沟通劳动合同的具体内容，解答疑问，安排并监督劳动合同的签订过程。此外，它还集中管理已签订的劳动合同，建立员工劳动合同档案，并处理合同履行过程中的日常问题。
法务部门（如存在）：
- 法律审核：在一些大型企业或对法律风险防控要求较高的企业中，法务部门在劳动合同签订过程中扮演着至关重要的角色。它负责对劳动合同的文本内容进行严格的法律审查，确保合同条款的合法性和合规性。
- 法律咨询与指导：法务部门还为人力资源部门及其他相关部门提供劳动合同签订和管理方面的专业法律意见，特别是在面临特殊用工形式或复杂劳动纠纷时。
行政部门（辅助角色）：
- 资料准备与文件管理：行政部门在劳动合同签订过程中主要起到辅助和支持的作用，如协助人力资源部门准备签订劳动合同所需的各类文件和资料，并负责合同文件的归档和保管。
- 流程协调与沟通：行政部门还协调企业内部各部门之间的工作流程，确保劳动合同签订过程的顺利进行。
二、外部监管
人力资源和社会保障局（人社局）：
- 监督管理权：作为核心管理部门，人社局负责劳动合同制度实施的全面监督管理，确保劳动合同的签订、履行、变更、解除和终止等环节均符合法律法规要求。
- 政策制定与监督：人社局还负责制定和完善劳动合同相关政策、法规和规范性文件，为用人单位和劳动者提供明确指导。
劳动监察部门：
- 监察执法：作为人社局的下属机构，劳动监察部门专门负责对用人单位执行劳动合同制度的情况进行监督检查，包括规章制度制定、劳动合同订立与解除等，对违法行为进行查处和纠正。
劳动争议仲裁委员会与人民法院：
- 争议解决：虽然这两个机构不直接管理劳动合同的签订，但它们在处理劳动合同争议方面发挥着重要作用。劳动争议仲裁委员会负责受理并审理用人单位与劳动者之间因劳动合同产生的争议，而人民法院则对劳动争议仲裁机构的裁决不服的当事人提供司法裁判。
三、建议与注意事项
- 公司角度：公司应明确各部门的职责分工，确保劳动合同的签订和管理工作得到有效执行。同时，公司应遵守相关法律法规，保障劳动者的合法权益，如按时支付工资、缴纳社会保险等。
- 劳动者角度：劳动者在签订劳动合同时应仔细阅读合同条款，确保自身权益得到保障。如遇劳动合同纠纷，可通过向劳动监察部门投诉、申请劳动争议仲裁或提起诉讼等方式维护自己的合法权益。
综上所述，签订劳动合同的公司管理涉及多个部门和机构，从公司内部的人力资源部门、法务部门和行政部门，到外部的人力资源和社会保障局及其下属机构。各部门和机构应各司其职，密切配合，共同确保劳动合同的合法性和有效性。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。