私家车在医院丢失后的赔偿问题，需根据具体情况确定责任主体及赔偿方式，核心结论如下：

1. 若医院有偿提供停车服务（如收取停车费）
   根据《民法典》第1198条，医院作为经营场所、公共场所的经营者，未尽到安全保障义务（如监控缺失、安保巡逻不足等），导致车辆被盗，需承担与其过错程度相适应的补充赔偿责任。

   • 赔偿范围：通常限于车辆实际损失（如维修费用、折旧损失等），需提供购车发票、维修记录等证据。
     
   • 举证责任：车主需证明医院存在过错（如调取监控、证明安保漏洞），若医院无法证明已尽义务，则推定其有过错。

2. 若医院免费停车且无过错
   若医院免费停车且已尽到基本安全保障义务（如设置警示标志、合理巡逻等），车辆被盗可能被认定为第三人侵权（如小偷盗窃），此时医院通常不承担赔偿责任。

   • 车主需向公安机关报案，通过刑事追赃程序追回损失；若无法追回，可向自身车辆保险（如车损险、盗抢险）申请理赔。
     
   • 例外情形：若医院明知存在安全隐患（如周边盗窃高发）却未采取措施，可能被认定存在过错，需承担部分责任。

3. 若车辆被盗涉及保险公司理赔

   • 若车主购买了机动车损失保险（车损险）或盗抢险，可向保险公司报案，按合同约定申请赔偿。
     
   • 保险公司可能要求提供：报警回执、车辆钥匙、行驶证等材料；若车辆未找回，通常需等待一定期限（如60天）后才能理赔。
     
   • 注意：若车主存在过错（如未锁车门、钥匙留在车内），保险公司可能拒赔或减少赔付比例。

行动建议：

1. 立即报警并保留报警回执，调取医院监控录像固定证据；
   
2. 联系医院协商赔偿，若协商无果可起诉至法院（需证明医院过错）；
   
3. 检查车辆保险条款，及时向保险公司报案并提交材料。
   

如有进一步疑问（如证据收集、赔偿计算等），可直接向我咨询。