结论前置：缓刑期间能跨区不出市住院，但必须经过考察机关的批准，并遵守相关的法律法规和监管要求。
详细分析：
缓刑期间的基本规定：
- 根据《中华人民共和国刑法》第七十五条的规定，被宣告缓刑的犯罪分子在缓刑考验期内，应遵守法律、行政法规，服从监督，并按照考察机关（一般为当地社区矫正机构）的规定报告自己的活动情况，同时遵守关于会客的规定。
- 特别地，若要离开所居住的市、县或迁居，包括跨区到同一城市的其他区，必须报经考察机关批准。
跨区住院的申请流程：
- 提交书面申请：如果您因住院需要跨区不出市，应向考察机关提交书面申请，明确说明住院的理由、医院名称、住院时间、预计出院时间以及行程安排等信息。
- 考察机关审批：考察机关会根据您的表现、住院的理由以及是否存在逃避法律制裁的风险等因素，综合考虑是否批准您的申请。对于因就医等特殊情况需要短时间离开居住地的，通常可以向司法所提出申请并获得批准。若住院时间较长，可能需要由司法所签署意见后，再上报至县级司法行政机关进行审批。
- 遵守批准行程：若申请获得批准，您必须严格按照批准的行程安排行事，即在指定的医院住院，并在规定的时间内返回居住地。
违规后果：
- 未经考察机关批准擅自离开规定区域的，可能会被认定为违反缓刑规定。情节严重的，考察机关有权撤销缓刑，执行原判刑罚。因此，务必确保在跨区住院前获得考察机关的批准。
法律建议：
- 在计划跨区住院前，尽早与考察机关联系，了解具体的申请流程和所需材料，以便及时准备和提交申请。
- 提交申请时，务必提供真实、准确的信息，包括住院的原因、医院名称、住院时间等，以便考察机关能够全面评估您的申请。
- 在住院期间，保持与考察机关的沟通联系，及时报告住院进展和预计出院时间，以便考察机关能够掌握您的情况。
特殊情况说明：
- 如果住院是因为紧急情况，如突发疾病需要立即就医，可能无法事先获得考察机关的批准。在这种情况下，您应在就医后尽快与考察机关联系，说明情况并补办相关手续。
总结：缓刑期间跨区不出市住院是可能的，但必须经过考察机关的批准，并遵守相关的法律法规和监管要求。务必确保在住院前获得批准，并在住院期间保持与考察机关的沟通联系。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。