核心结论：老赖跑路后，其子女一般无需直接承担父母的债务责任，但若子女继承了老赖的遗产，则需在继承范围内承担还款责任。以下从不同角度详细分析：

1. 子女无直接还款义务
   根据《民法典》第1161条，子女作为独立民事主体，无需为父母的个人债务承担还款责任，除非子女自愿代为偿还。即使老赖“跑路”，债权人也不能直接要求其子女还款，这是法律对子女财产独立性的保护。

2. 继承遗产后的责任
   若子女继承了老赖的遗产（如房产、存款等），则需在继承的遗产价值范围内承担还款责任。例如：老赖欠债100万元，子女继承了价值50万元的房产，则需用该房产偿还债务，剩余50万元债务子女无需承担。若子女放弃继承，则完全无需承担还款责任。

3. 特殊情况：财产混同或转移
   若老赖在跑路前将财产无偿转移给子女（如赠与房产、大额转账），债权人可依据《民法典》第538条行使“债权人撤销权”，要求撤销该转移行为，将财产追回用于还债。但需注意：

   • 撤销权需在知道或应当知道撤销事由之日起1年内行使；
     
   • 需证明老赖转移财产时存在恶意（如明知欠债仍转移）。

4. 子女实际使用财产的处理
   若子女实际使用了老赖的财产（如老赖跑路后，子女继续居住其名下房屋），债权人可申请法院查封该财产并强制执行。但若子女能证明财产来源合法（如自行购买或继承），则可排除执行。

建议行动：

• 若您是债权人，可先调查老赖的财产转移情况，收集证据后向法院提起撤销权之诉或申请强制执行；
  
• 若您是老赖的子女，建议保留财产来源证明（如继承公证书、转账记录等），避免被牵连；
  
• 具体操作需结合案件细节，如有疑问可直接向我咨询。