结论：开车压死鸡是否需要赔偿，主要取决于具体情况，包括鸡是否属于有主财产、驾驶人是否存在过错、鸡主人是否尽到管理义务以及事件是否为意外等。以下是对此问题的详细分析：
需要赔偿的情况
鸡属于有主财产且驾驶人存在过错：
- 鸡作为私人财产，受到法律保护。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百八十四条，侵害他人财产的，财产损失按照损失发生时的市场价格或者其他合理方式计算，应承担赔偿责任。
- 如果驾驶人因违反交通规则（如超速、逆行、注意力不集中等）导致压死鸡，那么驾驶人对损害结果的发生存在过错，应当承担赔偿责任。赔偿金额一般按照鸡在市场上的合理价格来确定，可以通过双方协商或者由评估机构评估损失后确定。
法律原则与责任认定：
- 根据交通法规定，机动车在道路上造成他人畜禽伤亡的，应承担相应的损害赔偿责任。
- 驾驶人需证明已尽到合理的注意义务，否则难以免除赔偿责任。例如，若驾驶人在正常行驶过程中，因鸡突然窜出而无法及时避让，但若驾驶人未保持安全车速或未注意观察路况，则可能仍需承担一定责任。
不需要赔偿或减轻赔偿的情况
鸡主人存在过错：
- 如果鸡主人没有对鸡尽到合理的管理义务，导致鸡跑到机动车道上，增加了被压死的风险，此时鸡主人自身存在一定过错。
- 在这种情况下，如果驾驶人正常行驶且已尽到合理的注意义务，仍无法避免压死鸡的情况发生，那么驾驶人可以不承担或者减轻赔偿责任。例如，鸡主人未将鸡圈养在固定场所，而是放任其在道路上自由活动，导致驾驶人无法预见并避让。
意外事件：
- 如果是由于不可预见、不可避免且不可克服的原因导致压死鸡，如突发的自然灾害（如地震、洪水等导致道路塌陷，鸡被冲至道路上）、车辆突发故障（如刹车失灵）等意外情况，驾驶人对压死鸡的结果没有过错。
- 在这种情况下，驾驶人一般不需要承担赔偿责任。但需注意，驾驶人需提供充分证据证明事故的发生属于意外事件，且自己已尽到合理的注意义务。
证据保留与建议
- 保留证据：在处理这类事故时，建议驾驶人和鸡主人都保留相关证据，如现场照片、视频记录、证人证言等。这些证据有助于后续协商或诉讼使用，以明确责任划分和赔偿金额。
- 冷静处理：保持冷静和理智，通过合法途径解决问题，避免引发不必要的冲突和纠纷。双方可以首先尝试友好协商，就赔偿事宜达成一致意见。
- 及时咨询：如有更多疑问或争议，可以直接向我咨询，以获取更准确的法律意见和帮助。
总结：开车压死鸡是否需要赔偿，需根据具体情况来判断。驾驶人应遵守交通规则，尽到合理的注意义务；同时，鸡主人也应加强对家禽的管理，以减少类似事故的发生。在发生事故后，双方应理性协商，并依据法律法规来处理赔偿事宜。