结论：在总公司更名后，分公司名称是否需要更改，主要取决于分公司名称中是否直接包含了总公司的名称。若包含，则分公司通常应当随之进行名称变更；若未包含，虽不一定强制要求变更，但从统一管理和避免混淆的角度出发，仍建议进行相应调整。
一、法律角度分析
法律主体一致性：
- 分公司作为总公司的附属机构，不具有独立法人资格，其民事责任由总公司承担。因此，当总公司名称发生变更时，为了保持法律主体的一致性，分公司名称中的总公司名称部分也应当相应变更。例如，若总公司从“A有限公司”更名为“C有限公司”，则原名为“A有限公司B分公司”的分公司应更名为“C有限公司B分公司”。
登记手续合规性：
- 根据《公司法》及《公司登记管理条例》的相关规定，公司名称变更需依法办理登记手续，并换发新的营业执照。对于分公司而言，若其名称中包含总公司名称，且总公司已更名，则分公司也需按照相同流程完成名称变更登记，以确保合规性。
二、经营和管理角度分析
业务开展便利性：
- 分公司名称与总公司名称保持一致，有助于对外签订合同、开展业务往来时减少不必要的解释和质疑。交易相对方能够清晰识别分公司的主体资格和隶属关系，从而保障业务的顺利进行。
品牌形象统一性：
- 统一的名称有助于塑造和维护企业的品牌形象，增强客户对企业的认知度和信任感。若总公司与分公司名称不一致，可能会给客户造成困惑或误解，影响企业的整体形象和声誉。
管理效率提升：
- 名称统一便于总公司对分公司进行统一管理，包括文件流转、信息沟通、资源配置等方面。这有助于提高管理效率和协同作战能力，降低管理成本。
三、实践操作建议
及时咨询当地规定：
- 由于各地工商行政管理规定可能存在差异，建议在总公司更名后，及时向当地工商行政管理部门咨询分公司名称变更的具体要求和操作流程。这有助于确保变更手续的合法性和合规性。
准备相关材料并办理变更手续：
- 根据当地工商行政管理部门的要求，准备相关材料（如《分公司变更登记申请书》、总公司决议或决定、分公司营业执照正副本原件等）并按时办理分公司名称变更手续。这包括提交申请、审核过程、反馈与修改等步骤，需确保每个环节都符合法律法规的要求。
更新相关证照和手续：
- 在完成分公司名称变更登记后，还需及时更新相关证照和手续，如税务登记、银行账户信息、组织机构代码证（已“多证合一”）、社保登记等。这有助于确保分公司业务的正常开展和合规运营。
公告与通知：
- 根据法律法规要求，可能需要在公司官网、报纸或其他指定平台上发布名称变更的公告。同时，需通知公司的客户、供应商、合作伙伴等关于名称变更的事宜，以确保业务的正常开展和避免不必要的纠纷。
后续思考：在总公司更名后，分公司名称的变更不仅涉及法律层面的合规性，还关乎企业的品牌形象和管理效率。因此，建议企业在做出决策时，综合考虑法律、经营和管理等多方面的因素，以确保变更的顺利进行和企业的持续发展。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。