结论前置：羁押超过37天后，犯罪嫌疑人仍然有可能申请并获得取保候审，但具体能否成功取决于案件的具体情况、证据材料以及是否符合取保候审的法定条件。
一、取保候审的法定条件
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，取保候审的条件主要包括以下几点：
刑罚条件：
- 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
- 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的。
特殊身体状况：
- 患有严重疾病、生活不能自理的；
- 怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的。
羁押期限届满：
- 羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续采取强制措施的。
二、羁押超过37天后取保候审的可能性
案件进展与证据情况：
- 如果在37天的拘留期限内，公安机关未能收集到足够的证据来提请检察院批准逮捕，或者检察院认为证据不足未予批准逮捕，那么犯罪嫌疑人可能会被释放或变更为其他强制措施。但即便如此，如果案件仍在侦查阶段，且犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，仍然可以向办案机关提出取保候审的申请。
- 如果案件已经进入审查起诉或审判阶段，且犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，同样可以提出申请。
取保候审的审批流程：
- 取保候审的申请需要经过办案机关的审查。办案机关会根据案件的具体情况、犯罪嫌疑人的社会危险性等因素来决定是否批准取保候审。
- 因此，即使提出了取保候审的申请，也不能保证一定会被批准。但只要符合法定条件，且申请材料充分、合理，就有可能获得批准。
特殊情况下的取保候审：
- 在某些特殊情况下，如犯罪嫌疑人患有严重疾病、生活不能自理，或者怀孕、正在哺乳自己婴儿等，即使案件已经超过了37天的拘留期限，仍然有可能获得取保候审的机会。
- 例如，对于患有严重心脏病的犯罪嫌疑人，如果取保候审不致发生社会危险性，且能够提供有效的医疗保证，那么办案机关可能会考虑批准取保候审。
三、申请取保候审的建议
了解案件进展：
- 在申请取保候审前，建议与办案机关沟通，了解案件的进展情况和证据材料。这有助于判断是否符合取保候审的条件，以及申请的成功率。
准备充分材料：
- 按照办案机关的要求，准备充分的申请材料。包括个人基本情况、案件相关情况、取保候审的理由和依据等。材料要真实、准确、完整，能够充分证明犯罪嫌疑人符合取保候审的条件。
积极配合调查：
- 在申请取保候审期间，应积极配合办案机关的调查工作。如实提供证言和证据，不隐瞒、不谎报。这有助于增加办案机关对犯罪嫌疑人的信任度，提高申请的成功率。
四、取保候审后的注意事项
- 取保候审期间，犯罪嫌疑人必须严格遵守相关规定。如未经执行机关批准不得离开所居住的市、县，不得干扰证人作证等。
- 违反取保候审规定可能导致取保候审被撤销，并可能重新被拘留。因此，犯罪嫌疑人应严格遵守规定，确保取保候审的顺利进行。
总结：羁押超过37天后，犯罪嫌疑人仍然有可能申请并获得取保候审。但具体能否成功取决于案件的具体情况、证据材料以及是否符合取保候审的法定条件。因此，在申请取保候审前，建议充分了解案件进展和证据情况，准备充分的申请材料，并积极配合办案机关的调查工作。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。