结论：员工没有做满一个月自杀并留下遗书，老板是否有责任需根据具体情况判断，一般情况下老板无需承担直接责任，但特定情形下可能需承担一定责任。以下从不同角度进行分析：
一、一般情况下老板无需承担直接责任
自杀行为的独立性：自杀行为通常是员工个人基于自身原因（如心理问题、家庭变故等）做出的极端选择，与老板的直接行为无直接关联。在法律上，除非有证据表明老板的行为直接导致了员工的自杀，否则老板无需对员工的自杀行为承担责任。
劳动关系的性质：员工与老板之间建立的是劳动关系，老板的义务主要是提供劳动条件、支付劳动报酬等。在员工自杀的情况下，除非老板存在违反劳动法规定的行为（如拖欠工资、强迫劳动等），且这些行为与员工的自杀有直接因果关系，否则老板无需承担责任。
二、特定情形下老板可能需承担一定责任
存在过错行为：如果老板在员工工作期间存在过错行为，如侮辱、诽谤、虐待员工，或者未提供必要的安全保障措施等，且这些行为与员工的自杀有直接因果关系，那么老板可能需要承担一定的民事赔偿责任。这种责任是基于老板的过错行为对员工造成的精神损害或身体伤害而产生的。
未履行法定救助义务：如果员工在工作期间出现自杀倾向或行为，老板作为用人单位的管理者，有义务及时采取措施进行救助。如果老板未履行这一法定救助义务，导致员工自杀成功或伤害加重，那么老板可能需要承担一定的法律责任。这种责任是基于老板未履行法定救助义务而产生的。
三、法律建议
收集证据：如果员工家属认为老板对员工的自杀负有责任，应收集相关证据来证明老板存在过错行为或未履行法定救助义务。这些证据可以包括监控录像、证人证言、医疗记录等。
咨询专业律师：在处理此类纠纷时，建议员工家属咨询专业律师以获取更具体的法律建议。律师可以根据具体情况分析老板的责任范围，并帮助员工家属制定合理的维权策略。
理性维权：在维权过程中，员工家属应保持理性，避免采取过激行为。通过合法途径维护自身权益是更为有效和安全的方式。
总结：员工没有做满一个月自杀并留下遗书，老板是否有责任需根据具体情况判断。在一般情况下，老板无需承担直接责任；但在特定情形下，如老板存在过错行为或未履行法定救助义务时，可能需要承担一定责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。