结论：您作为奶奶，在怀疑孙子不是亲生的情况下，确实有权提出亲子鉴定，但需遵循法律规定并尊重相关人的权益，特别是未成年人的隐私和自主权。以下是从不同角度的详细分析：
一、法律层面与权益保护
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十三条，对亲子关系有异议且有正当理由的，父或母可以向人民法院提起诉讼，请求确认或否认亲子关系。虽然该条款直接提及的是父母，但在实际司法实践中，其他具有法定监护权或利害关系的主体（如祖父母）在特定情形下，如涉及财产继承纠纷、孩子抚养关系争议等，也可能被允许提出此类请求。
权益保护：
- 亲子鉴定涉及被鉴定人的隐私权、人格权等重要权益，因此在实际操作中需谨慎处理。特别是对于已成年的孙子，由于其对自己的身体和个人信息享有自主决定权，所以进行亲子鉴定必须经过其本人同意。
- 对于未成年人，父母作为其法定监护人，在涉及孩子重大事项决策上拥有优先权利。因此，您若希望为未成年孙子申请亲子鉴定，通常需要取得孩子父母双方的同意。若父母一方或双方不同意，您可能较难自行启动该程序。
二、特殊情形下的处理
司法案件中的申请：
- 在某些特殊情形下，如财产继承纠纷、孩子抚养关系争议等司法案件，您有权向法院提出申请，请求进行亲子鉴定。法院会根据具体情况进行审查，综合考虑是否存在合理怀疑理由、对孩子利益的影响等多种因素，以做出公正的裁决。
协商与沟通：
- 在实际操作中，若您怀疑孙子非亲生，首先应与家人进行充分沟通，解释清楚申请亲子鉴定的原因以及可能带来的好处。通过沟通取得家人的理解和支持，是顺利推进亲子鉴定程序的重要前提。
三、申请亲子鉴定的具体流程与注意事项
协商沟通：
- 优先尝试与儿子、儿媳协商解决，明确表达疑虑并寻求理解。若双方同意鉴定，可直接委托有资质的司法鉴定机构进行。
法律途径：
- 若协商未果，您可向法院提起民事诉讼，提交申请书及相关证据材料。法院将审查申请合理性，必要时指定专业机构进行鉴定。在此过程中，您需提供初步证据支持怀疑理由，如血型不符、出生时间异常等医学线索，或家庭矛盾导致的合理怀疑。
鉴定实施与保密：
- 被指定的鉴定机构会采集血样等生物样本进行分析，出具具有法律效力的鉴定报告。整个过程需严格遵循保密原则，保护大家的隐私。
四、申请亲子鉴定可能面临的后果
家庭关系影响：
- 无论结果如何，鉴定过程都可能加剧家庭矛盾。建议您提前评估潜在风险，必要时寻求心理咨询师协助处理家庭关系。
法律责任承担：
- 若您无充分理由恶意申请亲子鉴定，可能面临侵犯隐私权、名誉权的指控。因此，请确保您的申请行为符合《民事诉讼法》关于举证责任的规定。
后续抚养义务：
- 若鉴定结果否定亲子关系，可能引发抚养费返还纠纷。根据《民法典》相关规定，非亲生子女不产生法定抚养义务。但在此之前，请务必考虑清楚这一结果对家庭关系的影响。
建议：在提出亲子鉴定之前，请务必权衡利弊，考虑清楚可能带来的后果。如果您决定提出申请，请遵循法律规定，尊重相关人的权益，并通过沟通与合作来解决问题。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。