结论：在对方公然辱骂你，警察立案后，是否会通知你惩罚结果，这主要取决于案件的具体处理情况和相关法律规定。一般来说，如果案件进入行政处罚程序，公安机关会依法将处理结果通知你；如果案件涉及刑事诉讼，你作为被害人或相关方，也有权了解案件的进展和结果。
详细分析：
行政处罚程序：
- 当对方公然辱骂你，且情节严重到构成违反治安管理行为时，公安机关会依法进行调查，并根据调查结果作出行政处罚决定，如罚款、拘留等。
- 在此过程中，公安机关会依法保障你的知情权，包括告知你案件的受理情况、调查进展以及处理结果。因此，如果案件进入行政处罚程序，你通常会收到公安机关的通知，了解对方受到的惩罚情况。
刑事诉讼程序：
- 如果对方的辱骂行为情节特别严重，构成犯罪（如侮辱罪），公安机关会依法立案侦查，并将案件移送检察机关审查起诉。
- 在刑事诉讼过程中，你作为被害人或相关方，有权了解案件的进展和结果。这包括了解对方是否被起诉、审判结果以及刑罚执行情况等。
- 公安机关、检察机关和法院在办理刑事案件时，会依法保障你的诉讼权利，包括通知你参加庭审、告知你判决结果等。
特殊情况：
- 如果案件涉及国家秘密、个人隐私或未成年人犯罪等特殊情况，公安机关可能会根据法律规定对部分信息进行保密处理。但即便如此，你作为被害人或相关方，仍然有权在符合法律规定的范围内了解案件的进展和结果。
- 另外，如果公安机关在调查过程中发现案件不构成违反治安管理行为或犯罪，或者决定不予处罚、不予起诉等，也会依法告知你相关情况。
建议：
- 如果你希望了解对方受到的惩罚情况，可以主动与公安机关联系，询问案件的进展和处理结果。
- 在与公安机关沟通时，请保持冷静和理性，依法表达自己的诉求和意见。
- 如果你对公安机关的处理结果有异议，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，维护自己的合法权益。
后续行动：
- 如果你发现对方仍然有辱骂或其他违法行为，可以及时向公安机关报案，并提供相关证据材料。
- 同时，你也可以考虑通过法律途径（如民事诉讼）要求对方承担侵权责任，赔偿你的损失。
总之，在对方公然辱骂你，警察立案后，你通常有权了解对方受到的惩罚情况。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。