核心结论：双方打架后第二天才去医院，在法律上仍然可以主张相关权益，但需注意证据收集和时效问题，具体分析如下：

1. 法律责任认定不受影响
   打架行为是否构成违法或犯罪，主要依据行为当时的情节（如是否故意伤害、是否使用凶器、伤害程度等），而非就医时间。即使第二天就医，只要伤情与打架行为存在因果关系，仍可依法追究对方责任。例如：

   • 若构成轻微伤，可依据《治安管理处罚法》对对方处以行政处罚（如拘留、罚款）；
     
   • 若构成轻伤及以上，可能涉及刑事犯罪（故意伤害罪），需通过司法鉴定确认伤情等级。

2. 证据收集是关键
   延迟就医可能引发对方对伤情真实性的质疑，因此需重点收集以下证据：

   • 医疗记录：保留完整的病历、诊断证明、检查报告、用药清单等，证明伤情与打架的关联性；
     
   • 现场证据：如监控录像、目击证人证言、现场照片等，还原打架经过；
     
   • 报警记录：及时向公安机关报案，由警方出具《受案回执》或《立案通知书》，固定事件性质。

3. 时效问题需注意

   • 行政案件：根据《治安管理处罚法》，违反治安管理行为在6个月内未被公安机关发现的，不再处罚。但若已报案，则不受此限制；
     
   • 民事赔偿：人身损害赔偿诉讼时效为3年，自知道或应当知道权利受损之日起计算（如确诊伤情之日）；
     
   • 刑事案件：故意伤害罪的追诉时效根据伤情等级不同（轻伤5年、重伤10年），但报案后公安机关立案的，不受追诉时效限制。

4. 实务建议

   • 立即就医：即使隔天，也应尽快就诊并如实向医生描述受伤经过，避免因拖延影响伤情认定；
     
   • 同步报警：向公安机关说明情况，要求调取现场监控或询问证人，固定证据链；
     
   • 咨询律师：根据伤情和证据情况，评估是否构成刑事案件或可主张的民事赔偿金额（如医疗费、误工费、护理费等）。

总结：延迟就医不影响法律责任的认定，但需通过医疗记录、现场证据等证明伤情与打架的因果关系。建议尽快采取行动固定证据，并依据伤情严重程度选择行政、民事或刑事途径维权。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程。