结论：是否可以在下家公司写专利时挂第二发明人，需结合具体情况判断，主要涉及职务发明归属、公司制度及发明人资格认定三方面因素。以下分情况详细说明：

1. 若专利属于职务发明，需以公司制度为准

根据《专利法》第六条，职务发明是指“执行本单位的任务或者主要是利用本单位的物质技术条件所完成的发明创造”，其专利申请权和专利权归单位所有。此时：

• 若公司明确规定职务发明的发明人顺序由公司决定（例如要求第一发明人必须是项目负责人或核心技术人员），则您作为员工需遵守制度，擅自挂名第二发明人可能违反公司规定，甚至引发内部纠纷。
• 若公司未明确限制发明人顺序，且您实际参与了专利的技术研发（如提出关键技术方案、参与实验验证等），理论上可以与公司协商挂名第二发明人，但需确保其他发明人（如第一发明人）无异议。

建议：提前查阅公司《专利管理制度》或《员工手册》，确认是否有关于发明人顺序的强制性规定；若无明确限制，可与项目负责人或知识产权部门沟通，说明您的贡献并协商挂名事宜。

2. 若专利属于非职务发明，需以实际贡献为准

若专利是您利用业余时间、非公司资源独立完成，或与他人合作完成（非执行公司任务），则属于非职务发明，专利申请权归发明人所有。此时：

• 发明人顺序应按实际贡献大小排列。若您确实是第二大贡献者（例如提出辅助技术方案、参与部分实验），可以挂名第二发明人；但若贡献与顺序不符（如实际贡献最大却挂名第二），可能引发其他发明人（如第一发明人）的异议，甚至导致专利权属纠纷。
• 需与其他发明人签订书面协议。为避免后续争议，建议与其他发明人签订《发明人确认协议》，明确各自的贡献、发明人顺序及权益分配（如专利许可收益分成比例）。

建议：保留参与专利研发的证据（如实验记录、邮件沟通记录、会议纪要等），以证明您的实际贡献；若涉及多人合作，务必通过书面协议固定各方权利义务。

3. 需注意的潜在风险

• 挂名“虚假发明人”的法律风险：若您未实际参与专利研发，仅因人情或利益关系挂名第二发明人，可能构成《专利法》中的“假冒发明人”行为，需承担民事赔偿责任（如赔偿单位或实际发明人损失），甚至面临行政处罚（如专利部门责令改正）。
• 影响个人职业声誉：若挂名行为被曝光（如专利纠纷中法院认定您非实际发明人），可能对您未来的技术职称评定、科研项目申报等产生负面影响。

总结：是否可以挂名第二发明人，需以专利是否属于职务发明、公司制度是否允许、您是否实际参与研发为前提。建议优先遵守公司规定，确保挂名顺序与实际贡献一致，并通过书面协议固定各方权利，以降低法律风险。若有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。