结论：被公安抓了关押一个月后被取保候审，这既可能是公安取保，也可能是检察院取保，具体取决于取保候审的决定是在哪个阶段作出的。

分析说明：

1. 公安取保：

   • 在刑事案件的侦查阶段，公安机关有权对犯罪嫌疑人采取取保候审措施。如果公安机关在侦查过程中认为犯罪嫌疑人符合取保候审的条件（如可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的等），就可以决定取保候审，并通知犯罪嫌疑人或其家属办理相关手续。
   • 在您描述的情况下，如果关押一个月后，公安机关认为您符合取保候审的条件，并作出了取保候审的决定，那么这就是公安取保。

2. 检察院取保：

   • 在刑事案件的审查起诉阶段，检察院也有权对犯罪嫌疑人采取取保候审措施。如果公安机关侦查终结后，将案件移送检察院审查起诉，检察院在审查过程中认为犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，也可以决定取保候审。
   • 在您描述的情况下，如果关押一个月后，案件已经移送检察院审查起诉，并且检察院认为您符合取保候审的条件，作出了取保候审的决定，那么这就是检察院取保。

特殊场景：

• 在实践中，有时候公安机关和检察院在取保候审的决定上可能会有一定的衔接和沟通。例如，公安机关在侦查阶段可能已经考虑过取保候审，但由于某些原因（如证据不足、需要进一步侦查等）没有立即决定，而是将案件移送检察院后，由检察院决定取保候审。或者，公安机关在侦查阶段决定取保候审后，检察院在审查起诉阶段认为需要变更强制措施（如逮捕），但随后又认为符合取保候审条件而再次决定取保候审。不过，这些情况并不改变取保候审决定作出的主体和阶段。

后续行动建议：

• 如果您想知道具体的取保候审决定是由哪个机关作出的，可以查看取保候审决定书上的落款单位，或者向办理案件的公安机关或检察院咨询。
• 取保候审并不意味着案件已经结束，您仍然需要配合公安机关或检察院的调查和审查工作，遵守取保候审的相关规定（如不得离开所居住的市、县，及时到案等）。
• 如果您在取保候审期间有任何疑问或需要帮助，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。