结论前置：

1. 先登记离婚再起诉孩子的抚养权在法律上是完全可行的。离婚与子女抚养权的确定是两个既相互关联又相对独立的法律问题，可以在离婚时一并处理，也可以在离婚后单独处理。
2. 但建议尽量在离婚过程中妥善安排抚养权问题，以避免后续纠纷给孩子带来不必要的困扰和伤害。

法律背景与解析：

根据《中华人民共和国民法典》及相关司法解释，离婚与子女抚养权的确定是两个可以独立处理的法律事项。具体来说：

• 独立性：夫妻双方可以选择协商或诉讼的方式解除婚姻关系，同时关于子女的抚养问题（包括抚养权的归属、抚养费的支付等），也可以在离婚时一并解决，或者选择在离婚后另行处理。这意味着，即使已经完成了离婚登记，任何一方仍然有权就子女的抚养权问题向法院提起诉讼。

• 协议优先：如果双方能够就离婚和抚养权问题达成一致意见，建议在离婚协议中明确约定抚养权的归属、探视方式等相关事宜。这样，在完成离婚登记后，双方即可按照协议的约定来履行各自的义务，这种方式高效且能避免后续纠纷。

• 诉讼解决：如果在离婚时或离婚后就抚养权问题无法达成一致，任何一方都有权向人民法院提起诉讼，请求变更孩子的抚养权。法院在审理此类案件时，会从有利于子女身心健康、保障子女的合法权益出发，结合父母双方的抚养能力和条件等具体情况作出裁决。

不同情形下的处理方式：

1. 协议离婚后争取抚养权：

   • 如果夫妻双方在协议离婚时未对子女抚养权作出约定，或者离婚后一方希望变更抚养权，均可以向法院提起诉讼，请求判决抚养权的归属。此时，法院将综合考虑双方的具体情况及孩子的最佳利益来作出决定。例如，如果原抚养方因患严重疾病或伤残无力继续抚养子女，或者存在虐待子女等不利于子女健康成长的行为，法院可能会支持变更抚养权的请求。

2. 诉讼离婚时未处理抚养权：

   • 在离婚诉讼中，如果双方未就抚养权问题达成一致且未要求法院一并处理，离婚后双方仍可就此问题另行起诉。法院同样会基于孩子的权益和双方的具体情况来作出公正判决。例如，如果子女已满八周岁，且愿意随另一方生活，而该方又有抚养能力，法院可能会尊重子女的意愿，判决抚养权归该方所有。

建议与提醒：

• 以子女最大利益为出发点：在处理离婚和抚养权问题时，应始终以子女的最大利益为出发点，确保他们能够得到适当的照顾和教育。避免将个人情感或利益凌驾于子女之上，以免给子女带来不必要的伤害。

• 尽量在离婚过程中妥善安排抚养权问题：虽然可以先离婚再争抚养权，但建议在离婚过程中尽量对孩子抚养权问题作出妥善安排。这样可以减少后续纠纷和不确定性，使各方生活更快回归正常。同时，也有利于维护子女的稳定生活环境和心理健康。

• 寻求专业法律帮助：在处理这些问题时，寻求专业律师的帮助是明智之举。我可以根据你的具体情况提供有针对性的法律建议和指导，确保你的权益得到充分保障，并确保整个过程的合法性和合规性。

总之，先登记离婚再起诉孩子的抚养权在法律上是可行的，但应以子女的最大利益为出发点，并尽量在离婚过程中妥善安排抚养权问题。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。