结论前置：对市级仲裁委裁决书不服时，起诉的法院和程序需根据仲裁的具体类型（劳动仲裁或商事仲裁）来确定，同时应确保符合起诉条件。以下是详细解答：
一、劳动仲裁裁决书不服的起诉
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第四十七条至第五十条，劳动仲裁裁决分为终局裁决和非终局裁决。
终局裁决：
- 适用情形：涉及追索劳动报酬、工伤医疗费、经济补偿或赔偿金且金额不超过当地月最低工资标准十二个月金额的争议；或因执行国家劳动标准在工作时间、休息休假、社会保险等方面发生的争议。
- 起诉情况：劳动者不服终局裁决的，可自收到仲裁裁决书之日起十五日内向基层人民法院提起诉讼。用人单位有证据证明裁决存在法定可撤销情形（如适用法律错误、无管辖权、违反法定程序等），可自收到裁决书之日起三十日内向劳动争议仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。
非终局裁决：
- 适用情形：除终局裁决外的其他劳动争议案件。
- 起诉情况：当事人不服非终局裁决的，可自收到仲裁裁决书之日起十五日内向用人单位所在地或劳动合同履行地的基层人民法院提起诉讼。若劳动合同履行地不明确，则由用人单位所在地的基层人民法院管辖。
二、商事仲裁裁决书不服的起诉
法律依据：
- 根据《中华人民共和国仲裁法》第九条，商事仲裁实行一裁终局制度，但裁决存在法定可撤销或不予执行情形时，当事人可向有管辖权的人民法院申请相应救济。
申请撤销仲裁裁决：
- 适用情形：包括没有仲裁协议、裁决事项超出仲裁协议范围、仲裁庭组成或程序违反法定程序、裁决所根据的证据是伪造的、对方当事人隐瞒了足以影响公正裁决的证据、仲裁员在仲裁该案时有索贿受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为等。
- 起诉情况：当事人应自收到裁决书之日起六个月内向仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销。如法院裁定撤销，当事人可重新达成仲裁协议申请仲裁，或向有管辖权的人民法院提起诉讼。
申请不予执行仲裁裁决：
- 适用情形：与申请撤销的情形相似，如当事人在合同中没有订有仲裁条款或事后未达成书面仲裁协议等。
- 起诉情况：在执行程序中，被执行人可向执行法院提出不予执行的申请。如法院裁定不予执行，当事人同样可重新达成仲裁协议申请仲裁，或向有管辖权的人民法院提起诉讼。
三、起诉前的准备
- 确保符合起诉条件：包括有明确的被告、具体的诉讼请求和事实理由，并准备好相关证据材料。
- 选择正确的管辖法院：根据仲裁类型和具体情况确定管辖法院，如劳动仲裁通常向基层人民法院提起诉讼，商事仲裁则可能向中级人民法院申请撤销或不予执行。
- 准备起诉材料：包括起诉状、证据材料、身份证明文件等。
四、特别提示
- 时效限制：申请撤销仲裁裁决需在收到裁决书之日起六个月内提出；若直接起诉（在特定情形下），应在法定诉讼时效期间内提起诉讼。
- 前置程序：除特定情形外（如仲裁协议无效），通常不能直接起诉要求改变仲裁结果，而需先通过撤销程序处理。
- 执行问题：在诉讼过程中，若对方当事人有可供执行的财产，可依法申请财产保全措施。
举例说明：假设您因劳动争议向市级仲裁委申请仲裁，仲裁委作出了裁决。如果您认为裁决存在错误，且该裁决属于非终局裁决，那么您可以在收到裁决书之日起十五日内向用人单位所在地或劳动合同履行地的基层人民法院提起诉讼。如果您认为裁决属于终局裁决且用人单位存在法定可撤销情形，那么用人单位可以在收到裁决书之日起三十日内向劳动争议仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。
后续建议：在处理此类纠纷时，建议您仔细研究相关法律法规和仲裁裁决书，确保自己的权益得到充分保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。