当行政机关发现其作出的行政处罚决定存在错误时，应当采取积极、负责的态度进行纠正，以确保行政处罚的准确性和公正性。以下是对此问题的详细解答：

一、行政机关自我纠正

法律依据与情形： 根据《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定，行政机关在发现行政处罚错误时，有义务主动进行纠正。这些错误可能包括处罚依据不足、适用法律错误、处罚程序违法或处罚明显不当等情形。

纠错程序： 行政机关应启动纠错程序，这通常涉及撤销原处罚决定，并重新履行立案、调查取证、听证告知等程序。如果经过重新调查发现违法事实不存在，则应当撤案；如果违法事实确实存在，则应依法作出新的处罚决定。

二、当事人申请行政复议

申请期限与受理机关： 如果当事人认为行政处罚决定存在错误，他们可以在自知道具体行政行为之日起六十日内（法律另有规定的除外）向作出行政处罚决定的行政机关的上一级行政机关或同级人民政府提出复议申请。

复议结果： 复议机关将对原行政处罚决定进行审查，并可能作出撤销、变更原行政处罚决定，或责令原行政机关重新作出具体行政行为的决定。

三、上级行政机关或有关机关责令改正

申诉与检举： 如果行政机关未自行纠正错误，当事人可以向上级行政机关或有关机关进行申诉或检举。

责令改正与处分： 一旦上级行政机关或有关机关认定行政处罚存在错误，它们将责令下级行政机关改正，并可能对直接负责的主管人员和其他直接责任人员依法给予处分，如警告、记过、降级、撤职等。

四、当事人提起行政诉讼

起诉期限与管辖法院： 当事人还可以在自知道或应当知道作出行政行为之日起六个月内（法律另有规定的除外）向法院提起行政诉讼。一般由最初作出行政行为的行政机关所在地法院管辖，经复议的案件也可由复议机关所在地法院管辖。

判决结果： 如果法院认定行政处罚存在主要证据不足、适用法律错误、违反法定程序、超越职权、滥用职权或处罚明显不当等情形，它可以判决撤销或部分撤销原行政处罚决定，并要求行政机关重新作出行政行为。

五、申请国家赔偿

前提条件与申请程序： 如果错误的行政处罚给当事人造成了人身或财产损害，他们还有权申请国家赔偿。这通常涉及先向赔偿义务机关（即作出错误行政处罚的行政机关）提出赔偿申请，并在赔偿义务机关逾期不予赔偿或赔偿请求人对赔偿数额有异议时，向人民法院提起诉讼。

六、总结与建议

对于行政机关而言，发现行政处罚决定错误后，应积极履行纠错职责，确保行政处罚的合法性和公正性，以提升公信力。对于当事人而言，在发现行政处罚决定错误后，应及时采取上述措施维护自身合法权益，并注意保留好相关证据材料，以便在申请复议、提起诉讼或申请赔偿时提供有力支持。