结论：单位不能仅因职工患有精神病而随意开除，但在特定条件下有权解除劳动合同，并需依法支付经济补偿。以下是对此问题的详细分析：
一、精神病员工的工作权益保护
根据《中华人民共和国劳动法》与《中华人民共和国劳动合同法》，精神病员工的工作权益受到严格法律保护。他们享有平等就业、选择职业以及取得劳动报酬等权利，只要能够胜任工作，单位不得因其疾病而歧视或开除。
二、医疗期内的保护
医疗期定义与时长：
- 医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因精神病需要停止工作接受医疗时，根据其实际参加工作年限和在本单位工作年限，可享受3个月到24个月的医疗期。
医疗期内的辞退限制：
- 在医疗期内，单位不得依据《劳动合同法》第四十条（无过失性辞退）或第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。
- 若单位违法解除劳动合同，员工有权要求继续履行合同或获得二倍经济补偿的赔偿金。
三、可以解除劳动合同的情形
员工存在过错：
- 如员工严重违反单位规章制度；严重失职、营私舞弊给单位造成重大损害；与其他单位建立劳动关系影响本职工作且拒不改正；或被依法追究刑事责任等，单位可依据《劳动合同法》第三十九条的规定解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作：
- 员工在规定的医疗期满后，若不能从事原工作也不能从事单位另行安排的工作，单位在提前三十日书面通知或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同。
- 此时，单位需按照法律规定支付经济补偿，补偿标准按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿。
与精神疾病相关的特殊情况：
- 如果员工的精神疾病被鉴定为工伤导致，那么应按照工伤保险的相关规定处理，此时单位更不得随意解除劳动合同。
- 若员工在试用期内隐瞒精神病史构成欺诈，用人单位可能依据其他法律条款解除劳动合同，但这种情况较为特殊，且需严格遵循法律程序。
四、辞退程序与注意事项
提前通知或支付补偿：
- 单位在辞退员工时，应提前30日以书面形式通知劳动者本人，或者额外支付劳动者一个月工资作为经济补偿。
合法合规性审查：
- 确保整个辞退过程符合法律法规要求，避免歧视和不公。
- 支付员工应得的工资和经济补偿，并办理好相关离职手续。
五、建议与总结
在处理患有精神病的员工问题时，单位应综合考虑员工的医疗期状况、工作表现、是否经过法定程序以及是否为工伤等因素。在任何情况下，单位都应遵守相关法律法规，确保不侵犯员工的合法权益。同时，建议单位在制定规章制度和劳动合同时，明确相关条款，以便在处理此类问题时能够有据可依。
最后，如果您或您身边的单位遇到此类问题，欢迎直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。