结论：在气枪非法狩猎案件中，即使气枪来源未查清楚，案件仍有可能移送检察院审查起诉，但具体是否移送需结合案件其他证据和情节综合判断。
分析说明：
案件移送检察院的基本条件：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在侦查终结后，认为犯罪事实清楚，证据确实、充分的，应当写出起诉意见书，连同案卷材料、证据一并移送同级人民检察院审查决定。这意味着，只要公安机关认为案件已经达到起诉条件，即使某些细节（如气枪来源）尚未完全查清，案件仍有可能被移送检察院。
气枪来源未查清对案件移送的影响：
- 气枪来源未查清确实可能影响案件的完整性和证据的充分性。然而，这并不意味着案件一定不能移送检察院。如果公安机关已经收集到足够的其他证据，如非法狩猎的行为证据、气枪的使用证据等，且这些证据足以证明犯罪嫌疑人的犯罪事实，那么案件仍有可能被移送。
- 另外，气枪来源未查清也可能成为检察院审查起诉时的一个考量因素。检察院在审查案件时，会全面评估证据的充分性和案件的完整性，如果认为气枪来源是案件的关键环节且未查清，可能会要求公安机关补充侦查或自行补充侦查。
拘押期限与案件移送的关系：
- 犯罪嫌疑人被拘押一个月并不直接决定案件是否移送检察院。拘押期限是公安机关侦查阶段的时间限制，而案件移送检察院则取决于侦查终结后是否达到起诉条件。因此，即使拘押期限已满，如果案件尚未侦查终结或未达到起诉条件，公安机关仍可能继续侦查或采取其他强制措施。
后续行动建议：
对于犯罪嫌疑人或家属：
- 如果案件已经移送检察院，建议尽快委托律师介入，了解案件详情，为犯罪嫌疑人提供法律帮助和辩护。
- 如果案件尚未移送检察院，但拘押期限已满或即将届满，可以关注公安机关的侦查进展，并咨询律师了解可能的法律后果和应对策略。
对于关注案件进展的人士：
- 可以关注公安机关或检察院的官方公告，了解案件的最新进展。
- 如果对案件有疑问或需要更多信息，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供法律分析和建议。
法律背景：
《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百六十二条：公安机关侦查终结的案件，应当做到犯罪事实清楚，证据确实、充分，并且写出起诉意见书，连同案卷材料、证据一并移送同级人民检察院审查决定；同时将案件移送情况告知犯罪嫌疑人及其辩护律师。
《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百七十五条：人民检察院审查案件，对于需要补充侦查的，可以退回公安机关补充侦查，也可以自行侦查。对于补充侦查的案件，应当在一个月以内补充侦查完毕。补充侦查以二次为限。补充侦查完毕移送人民检察院后，人民检察院重新计算审查起诉期限。