结论：警方在收到把人打伤的司法鉴定结果后，有义务将鉴定结果告知打人方，这是为了确保打人方的知情权，并让其了解自己可能面临的法律责任。

详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百四十八条：“侦查机关应当将用作证据的鉴定意见告知犯罪嫌疑人、被害人。如果犯罪嫌疑人、被害人提出申请，可以补充鉴定或者重新鉴定。”这一条款明确规定了警方在收到鉴定意见后，有义务将其告知犯罪嫌疑人（即打人方）和被害人。

2. 告知鉴定结果的目的：

   • 告知鉴定结果是为了确保打人方的知情权，让其了解自己行为的法律后果。
   • 同时，这也是为了保障诉讼程序的公正性，确保打人方有机会对鉴定结果提出异议或申请重新鉴定。

3. 不同伤害程度的处理：

   • 如果鉴定结果为轻微伤，则不构成刑事案件，主要涉及行政责任（治安处罚）和民事赔偿责任。警方在告知鉴定结果后，可能会根据双方意愿尝试调解，调解不成的，将依法对打人方进行行政处罚。
   • 如果鉴定结果为轻伤及以上，则构成故意伤害罪，警方应当立即立案侦查。在侦查过程中，警方会全面调查取证，包括告知打人方鉴定结果，并依法对其采取强制措施（如拘传、取保候审等）。

4. 打人方的权利与义务：

   • 打人方在收到鉴定结果后，有权对鉴定结果提出异议或申请重新鉴定。
   • 同时，打人方也有义务配合警方的调查工作，如实陈述事实，接受法律的制裁（如果构成犯罪的话）。

建议与提醒：

• 如果您或他人涉及此类事件，建议积极配合警方的调查工作，如实陈述事实。
• 对于鉴定结果有异议的，可以及时向警方提出申请，要求补充鉴定或重新鉴定。
• 在整个处理过程中，建议保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语，以免加重法律责任。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。