劳务派遣员工受伤，责任主要由劳务派遣单位承担工伤保险责任，若用工单位存在过错，则也需承担相应的补充赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：
一、劳务派遣单位的责任
工伤保险责任：
- 劳务派遣单位作为用人单位，有义务为被派遣劳动者缴纳工伤保险费，这是其法定义务。当劳务派遣员工发生工伤事故时，劳务派遣单位应向社会保险行政部门提出工伤认定申请，并确保员工依法享受工伤保险待遇。
- 若劳务派遣单位未按规定缴纳工伤保险，则需按照工伤保险待遇项目和标准，向受伤员工支付全部相关费用，包括医疗费、康复费、一次性伤残补助金等。
法定义务：
- 劳务派遣单位还需履行用人单位对劳动者的所有义务，包括但不限于保障员工工作安全、提供必要的劳动保护和条件等。
- 在员工因工作原因受伤时，劳务派遣单位应负责支付工伤期间的工资福利待遇，确保员工的基本生活不受影响。
二、用工单位的责任
过错责任：
- 如果用工单位给被派遣劳动者造成了损害，且该损害是由于用工单位的过错（如提供不符合规定的劳动安全设施、违规指挥等）导致的，用工单位需承担相应的赔偿责任。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用工单位在某些情况下可能与劳务派遣单位承担连带赔偿责任，特别是当用工单位的行为直接导致员工受伤时。
劳动保护与条件：
- 用工单位应执行国家劳动标准，为劳务派遣员工提供与直接雇佣员工相同的劳动保护和劳动条件。这包括提供安全的工作环境、必要的劳动防护用品等。
- 若用工单位未能提供必要的劳动保护和条件，导致员工受伤，用工单位应承担相应的责任，并可能面临行政处罚。
三、工伤保险的覆盖与责任分担的约定
工伤保险覆盖：
- 所有用人单位，包括劳务派遣单位，均需根据《工伤保险条例》为员工缴纳工伤保险。这是保障员工权益的重要措施。
- 劳务派遣员工在工作中受伤时，有权享受工伤保险的待遇，包括医疗救治、经济补偿等。
责任分担约定：
- 劳务派遣单位和用工单位可以在劳务派遣协议中约定工伤事故的责任分担方式。但这种约定仅在双方之间有效，不能对抗受伤员工要求劳务派遣单位承担工伤保险责任的权利。
- 若劳务派遣单位在承担责任后，认为用工单位存在过错，可依据协议约定向用工单位进行追偿。
四、实际案例与法律建议
实际案例：假设某劳务派遣员工在用工单位工作时受伤，经调查发现是由于用工单位提供的设备存在缺陷导致的。在此情况下，劳务派遣单位应首先承担工伤保险责任，向员工支付相关费用。同时，由于用工单位存在过错，劳务派遣单位在承担责任后，可向用工单位进行追偿。
法律建议：对于劳务派遣员工而言，在受伤后应及时向劳务派遣单位报告，并按照规定的流程申请工伤认定和劳动能力鉴定。对于劳务派遣单位和用工单位而言，应明确双方在劳务派遣关系中的权利和义务，特别是关于工伤事故的责任分担方式，以避免未来可能出现的纠纷。
总结来说，劳务派遣员工受伤时，责任的承担需综合考虑劳务派遣单位和用工单位的具体行为、法律规定以及双方之间的协议约定。为确保劳动者的合法权益得到充分保障，两者可能需共同承担责任。如果您或您身边的人遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。