私自砍伐街道树木是严重的违法行为，其处理方式和法律后果主要依据砍伐树木的数量、种类、地点以及是否获得相关许可等因素来确定。以下是对此问题的详细解答：
一、不构成犯罪的情况（一般违法行为）
行政处罚
- 盗伐树木：根据《中华人民共和国森林法》的相关规定，盗伐林木者将被责令限期在原地或异地补种盗伐株数一倍以上五倍以下的树木，并处以盗伐林木价值五倍以上十倍以下的罚款。若拒不补种或补种不符合规定，林业主管部门将代为履行，费用由违法者承担。
- 滥伐树木：滥伐林木者需限期在原地或异地补种滥伐株数一倍以上三倍以下的树木，并可处以滥伐林木价值三倍以上五倍以下的罚款。
- 未经许可砍伐树木：违反森林法规定，未办理林木采伐许可证即采伐林木的，将被责令停止违法行为，限期补种采伐株数一倍以上五倍以下的树木，并处以采伐林木价值二倍以上五倍以下的罚款。即使持有许可证但违反规定采伐，也属违法行为，将面临相应处罚。
民事赔偿
- 砍伐者除接受行政处罚外，还需承担民事赔偿责任。赔偿内容通常包括树木本身的价值、因砍伐导致的预期收益损失等。例如，若被砍树木为果树且处于盛果期，则需考虑未来几年可能产生的果实收益。
二、构成犯罪的情况
盗伐林木罪
- 若以非法占有为目的，擅自砍伐他人所有的林木，且数量较大（一般指盗伐林木2至5立方米或者幼树100至200株），则构成盗伐林木罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，数量较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数量巨大的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金；数量特别巨大的，处七年以上有期徒刑，并处罚金。
滥伐林木罪
- 若未经林业行政主管部门批准或违反林木采伐许可证规定，任意采伐本单位所有或本人所有的森林或其他林木，且数量较大（一般指滥伐林木10至20立方米或者幼树500至1000株），则构成滥伐林木罪。处罚方式与盗伐林木罪相同，依据数量大小分别处以不同年限的有期徒刑、拘役、管制及罚金。
非法采伐、毁坏国家重点保护植物罪
- 若砍伐的是珍贵树木或国家重点保护的其他植物，则依据《中华人民共和国刑法》的相关规定，可能面临更严厉的处罚，包括三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金；情节严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
三、综合建议
私自砍伐街道树木不仅会对环境造成破坏，还会给个人带来严重的法律后果。因此，我强烈建议：
- 遵守法律法规：在砍伐任何树木前，务必了解并遵守相关法律法规，确保获得必要的审批手续。
- 申请采伐许可证：如需砍伐树木，应向相关部门申请并获得林木采伐许可证等必要的审批手续，并严格按照许可要求进行砍伐作业。
- 增强法律意识：提高对环境保护和法律法规的认识，尊重他人的财产权和环境权，避免不必要的法律纠纷和经济损失。
总之，私自砍伐街道树木是严重的违法行为，将面临行政处罚、民事赔偿甚至刑事责任。请务必遵守相关法律法规，共同保护我们的绿色家园。