结论：在路上碾死一只狗是否需要赔偿，主要取决于狗是否有主人、主人是否采取了合理的管控措施以及事故发生的具体情况。以下是对此问题的详细分析：
一、需要赔偿的情形
狗有主人且已采取合理管控措施：
- 如果狗是有主人的，并且主人已经按照相关规定对狗采取了合理的管控措施（如佩戴项圈、牵狗绳等），司机在行驶过程中因过错（如注意力不集中、未及时避让）导致狗死亡，通常需要承担赔偿责任。
- 赔偿金额：一般以狗的实际价值为准，会综合考虑狗的品种、购买价格、饲养成本等因素来确定。例如，若狗为纯种犬，购买价格较高，且饲养过程中投入了大量成本，那么赔偿金额可能会相应较高。
存在特殊约定或当地习惯：
- 若在某些地区，存在特殊的约定或习惯，对于道路上发生的动物伤亡事件有明确的处理方式，且不违反法律法规的强制性规定，则应按照该约定或习惯来处理赔偿事宜。例如，某些乡村地区可能有“撞死家养动物需赔偿”的习俗。
二、不需要赔偿的情形
狗未采取管控措施：
- 如果狗主人没有对狗进行有效的管控，狗处于无人看管的自由流浪状态，在道路上随意穿梭，且司机在正常行驶过程中已经采取了必要的制动等避让措施但仍然无法避免压到狗，那么司机通常不需要承担赔偿责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的相关规定，若损害是由受害人故意造成的，行为人不承担责任。在此情况下，狗主人未尽到管理义务，导致狗在道路上随意跑动，可视为受害人（狗主人）存在过错。
紧急避险等法定免责情形：
- 在紧急情况下，如为避免更大的危险（如躲避失控车辆）而不得已压死了狗，这属于紧急避险行为。根据法律规定，因紧急避险造成损害的，由引起险情发生的人承担民事责任。如果险情是自然原因引起的，紧急避险人不承担民事责任或者给予适当补偿。因此，在这种情况下，司机也不需要对压死狗的行为承担赔偿责任。
三、综合建议
- 判断狗的状态：在处理此类问题时，首先应判断狗是否有主人以及是否采取了合理的管控措施。这有助于确定司机是否需要承担赔偿责任。
- 了解当地习惯：其次，要了解当地是否存在特殊的约定或习惯，并确认其是否合法有效。这有助于在赔偿问题上达成共识。
- 保留证据：无论是否需要赔偿，司机都应保留好相关证据（如事故现场照片、行车记录仪视频等），以备不时之需。
- 及时沟通：若涉及赔偿问题，建议司机与狗主人及时沟通，尝试协商解决。若协商不成，可寻求法律途径解决。
后续行动建议：若您遇到了类似情况，且对赔偿问题存在疑问或争议，可以直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律意见和有效的法律援助。