结论：新婚姻法（即《中华人民共和国民法典》婚姻家庭编）下，私生子女（非婚生子女）确实享有与婚生子女同等的财产继承权。

详细分析如下：

1. 法律地位平等：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，非婚生子女与婚生子女在法律地位上是完全平等的。这意味着，无论子女是在婚姻关系存续期间出生，还是在婚姻关系之外出生，他们都享有相同的法律权利和义务。

2. 继承权的具体规定：

   • 《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条明确规定了遗产的继承顺序，其中第一顺序继承人包括配偶、子女和父母。这里的“子女”是一个广义的概念，它涵盖了婚生子女、非婚生子女、养子女以及有扶养关系的继子女。
   • 因此，在法定继承中，非婚生子女作为第一顺序继承人，有权与其他第一顺序继承人（如配偶、父母、婚生子女等）共同继承被继承人的遗产，且继承份额一般应当均等。

3. 继承权的实现方式：

   • 法定继承：当被继承人死亡且没有留下有效遗嘱时，非婚生子女有权按照法定继承的规则继承遗产。
   • 遗嘱继承：若存在遗嘱，则应当按照遗嘱的内容来确定遗产的分配。但值得注意的是，如果遗嘱中未给非婚生子女保留必要的遗产份额，而该非婚生子女又缺乏劳动能力且没有生活来源，那么应当为其保留必要的遗产份额，以确保其基本生活需求得到满足。

4. 证据要求与权益维护：

   • 在实际继承过程中，非婚生子女可能需要通过相关证据来证明与被继承人之间的亲子关系，以确保其合法权益得到维护。这些证据可能包括但不限于出生证明、亲子鉴定等。
   • 如果非婚生子女的继承权受到侵犯，他们可以依法向人民法院提起诉讼，寻求法律保护。法院将依法审理并维护非婚生子女的合法权益。

法律建议：

• 对于非婚生子女的父母而言，应当认识到非婚生子女与婚生子女在法律地位上的平等性，并履行好抚养、教育和保护子女的义务。
• 对于非婚生子女而言，如果他们的继承权受到侵犯，应当及时收集相关证据，并通过法律途径来维护自己的合法权益。
• 在涉及遗产继承的问题时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导，确保自己的权益得到充分保障。

可能法律后果：

• 如果非婚生子女的继承权被非法剥夺或侵犯，他们有权向法院提起诉讼，要求恢复其继承权并获得相应的遗产份额。
• 法院在审理此类案件时，将依法保护非婚生子女的合法权益，对侵犯其继承权的行为进行制裁，并确保遗产的公平分配。