结论：一般情况下，合同期限届满后，次年一月不能再使用该合同进行付汇，但存在特殊情况可能允许继续使用。以下从不同角度进行分析：

一般情况：合同期限届满，合同权利义务终止

1. 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第五百五十七条，有下列情形之一的，债权债务终止：（一）债务已经履行；（二）债务相互抵销；（三）债务人依法将标的物提存；（四）债权人免除债务；（五）债权债务同归于一人；（六）法律规定或者当事人约定终止的其他情形。合同期限届满属于当事人约定的终止情形，合同权利义务终止。
2. 付汇行为与合同期限的关系：付汇行为通常是基于合同中的支付条款进行的，是合同履行的一部分。当合同期限届满，合同的权利义务终止，支付条款也相应失效，因此一般不能再依据该合同进行付汇。

特殊情况：合同存在续展条款或双方达成新的合意

1. 合同续展条款：如果合同中明确约定了合同期限届满后自动续展或双方有权协商续展，并且双方按照约定进行了续展，那么合同在续展期间内仍然有效，可以继续使用该合同进行付汇。
2. 双方达成新的合意：即使合同中没有续展条款，如果双方在合同期限届满后达成了新的合意，同意继续按照原合同的条款进行交易，包括付汇行为，那么也可以视为双方对原合同进行了变更或补充，可以继续使用该合同进行付汇。但这种情况下，最好签订书面的补充协议或新的合同，以明确双方的权利义务。

法律后果与风险提示

1. 法律后果：如果未经对方同意，在合同期限届满后继续使用该合同进行付汇，可能构成违约行为。对方有权要求停止违约行为、赔偿损失等。
2. 风险提示：为了避免法律风险，建议在合同期限届满前与对方协商续展或签订新的合同。如果确实需要继续付汇，应确保有合法的依据和对方的同意，并保留好相关证据。

建议：在处理此类问题时，应仔细审查合同条款，了解合同期限、支付条款以及续展条款等关键内容。如有需要，可以向对方发出书面通知，询问是否同意续展合同或签订新的合同。如果对方同意，应尽快办理相关手续；如果对方不同意，应停止使用原合同进行付汇，并寻求其他合法的解决方案。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。