关于没有收养协议的养子能否享有继承权的问题，这确实是一个涉及法律条款和具体情境判断的复杂问题。以下是我为您提供的详细分析：

一、一般情况下的判断

在大多数情况下，没有依法办理收养手续的养子是不具备法定继承权的。这是因为，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，法定继承人中的“养子女”是指通过合法收养程序建立的拟制血亲关系。若未依法办理收养登记手续，则无法形成法律认可的养父母与养子女关系，因此养子不具备法定继承人资格。

二、特殊情况下的权利保障

尽管一般原则如此，但在某些特殊情况下，没有收养协议的养子仍可能享有一定的继承权利或类似权利：

1. 事实收养关系的认定：

   • 在1994年2月1日《收养法》实施前，若存在长期共同生活且以父母子女身份相待的事实收养行为，部分司法实践可能基于历史原因和实际情况承认其效力。但这种情况需要结合具体证据材料，由法院进行综合判定。

2. 遗产酌给请求权的适用：

   • 根据《民法典》第1131条，对继承人以外的依靠被继承人扶养的人，或者继承人以外的对被继承人扶养较多的人，可以分给适当的遗产。这意味着，如果养子虽然没有办理收养手续，但实际上对被继承人尽了主要赡养义务，他可以通过诉讼程序主张遗产酌给请求权，由法院酌情分配遗产份额。

3. 遗嘱指定：

   • 如果养父母生前立有遗嘱，明确将遗产赠与给没有收养手续的养子女，那么养子女可以依据遗嘱继承遗产。这是基于遗嘱人自由处分其遗产的权利。

三、实务操作建议

1. 证据收集：

   • 如果养子希望主张遗产酌给请求权或证明事实收养关系的存在，应积极收集相关证据材料，如居委会证明、医疗护理记录、经济往来凭证等，以证明扶养关系的真实性和持续性。

2. 法律程序：

   • 养子需要在知道或应当知道权利被侵害之日起三年内提起诉讼，以避免因超过诉讼时效而丧失胜诉权。

四、总结

综上所述，没有收养协议的养子在一般情况下不能享有法定继承权。但在特定情况下，如存在事实收养关系（且需满足特定时间条件）、对被继承人尽了主要赡养义务或遗嘱指定等情形下，可能享有继承权或类似权利。因此，在处理具体案件时，应综合考虑相关法律法规及实际情况进行具体分析。如果您或您的家人面临此类问题，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。