关于“父亲去世，继母是否有义务养育继子”的问题，结论前置如下：
详细解释与分析：
一、形成抚养教育关系的情形
根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十二条的规定，继父或者继母和受其抚养教育的继子女间的权利义务关系，适用本法关于父母子女关系的规定。这意味着，如果继母在继子未成年时，承担了部分或全部的抚养责任，包括提供生活费用、教育支持、照顾生活起居等，即视为形成了抚养教育关系。在此情况下，即使父亲去世，继母仍对未成年继子负有抚养义务。这种抚养义务是基于拟制血亲关系而产生的，具有与自然血亲的父母子女关系相同的法律权利和义务。
实例说明：假设小明在10岁时父亲再婚，继母对小明悉心照顾，直至其成年。在此情况下，继母与小明之间形成了抚养教育关系，因此继母对小明负有抚养义务，即使小明的父亲去世，这一义务仍然存在。
二、未形成抚养教育关系的情形
同样依据《中华人民共和国民法典》第一千零七十二条的规定，未形成抚养教育关系的继父母与继子女间，不得虐待或者歧视，但不适用父母子女关系的相关规定。这意味着，如果继母在继子未成年时，没有对其进行抚养教育，例如没有参与继子的生活照料、教育培养，也没有提供经济支持等，那么双方就没有形成法律上拟制的父母子女关系。在此情况下，继母对继子没有法定的抚养义务。
实例说明：假设小红的父亲在她成年后再婚，继母与小红之间没有共同生活，也没有对小红进行过任何抚养教育方面的付出。在此情况下，继母与小红之间未形成抚养教育关系，因此继母对小红没有法定的抚养义务。
三、特殊情况与建议
共同生活时间长短与抚养教育事实的认定：根据《最高人民法院关于适用《中华人民共和国民法典》婚姻家庭编的解释（二）》第十八条的规定，对继子女受继父或者继母抚养教育的事实，人民法院应当以共同生活时间长短为基础，综合考虑共同生活期间继父母是否实际进行生活照料、是否履行家庭教育职责、是否承担抚养费等因素予以认定。因此，在判断继母与继子之间是否形成抚养教育关系时，需要综合考虑多个因素。
道德与情感上的考虑：即使继母与继子之间未形成法定的抚养教育关系，从道德或情感上的考虑，继母也可以选择对继子进行照顾和帮助。这种行为不仅有助于维护家庭的和谐与稳定，也有助于促进继子与继母之间的良好关系。
总结与建议：
综上所述，判断继母是否有义务养育继子的关键在于双方是否形成了抚养教育关系。在实际生活中，应根据具体情况来判断，并遵循法律法规的相关规定。如果您对此问题仍有疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业、全面的法律建议。