结论：偷越国边境案底的人在刑罚执行完毕前通常不能出国，刑罚执行完毕后原则上可以出国，但可能因犯罪记录在签证审批等方面受到一定影响。以下是详细分析：

一、案件侦查、审查起诉和审判阶段

1. 法律依据：根据《中华人民共和国出境入境管理法》第十二条规定，被判处刑罚尚未执行完毕或者属于刑事案件被告人、犯罪嫌疑人的，不准出境。偷越国边境行为涉嫌犯罪，在此阶段，犯罪嫌疑人自然不能出国。
2. 司法程序需要：犯罪嫌疑人需随时配合司法机关的调查、讯问、庭审等工作。若允许其出国，可能导致无法及时到案，影响刑事诉讼程序的正常进行。例如，公安机关需进一步调查犯罪事实、收集证据时，会要求犯罪嫌疑人随时接受询问。
3. 强制措施：公安机关可能会对嫌疑人采取拘留、取保候审等强制措施，并扣押或注销其护照等出入境证件，阻止其离境。

二、刑罚执行期间

1. 人身自由限制：若被法院判决有罪并处于刑罚执行期间，无论被判处管制、拘役、有期徒刑等主刑，还是被附加适用罚金、剥夺政治权利等附加刑，在刑罚执行完毕之前，其人身自由均会受到不同程度的限制，无法出国。
2. 具体执行情况：如被判处有期徒刑并在监狱服刑的罪犯，完全被限制在监管场所内，不可能出国；被判处管制的罪犯，需在居住地接受社区矫正，并遵守相关规定，不得擅自离开所居住的市、县。

三、刑罚执行完毕后

1. 法律层面：根据《中华人民共和国出境入境管理法》的相关规定，刑满释放人员在法律上不再被限制出境，原则上可以出国。
2. 实际签证申请：在申请签证过程中，部分国家的使领馆会要求申请人提供无犯罪记录证明。由于有偷越国边境罪的犯罪记录，可能无法提供符合要求的证明，或者签证官会对申请人的过往犯罪经历有所顾虑，从而影响签证审批结果。例如，一些国家对有刑事犯罪记录的人员签证审批较为严格，可能会拒绝发放签证。

四、综合建议

1. 遵守法律：在案件得到妥善处理之前，应严格遵守法律法规，不要尝试非法出入境行为，以免给自己带来不必要的麻烦和法律后果。
2. 特殊情况处理：如果确实有特殊情况需要出国，比如有紧急的医疗需求、重要的商务活动等，可以向相关部门说明情况，但能否获得批准需要根据具体情况和法律法规进行综合判断。同时，要准备好相关的证明材料，以增加获得批准的可能性。

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