若因刑事犯罪被判刑且涉及已抵押给银行的房产，同时希望申请法律援助，可按以下步骤处理：

1. 明确法律援助的申请条件
   根据《法律援助法》第二十五条，刑事案件的被告人因经济困难或其他原因没有委托辩护人的，可申请法律援助。具体包括：

   • 未成年人；
     
   • 视力、听力、言语残疾人；
     
   • 不能完全辨认自己行为的成年人；
     
   • 可能被判处无期徒刑、死刑的人；
     
   • 申请法律援助的死刑复核案件被告人；
     
   • 缺席审判案件的被告人；
     
   • 法律法规规定的其他人员。
     若不符合上述特殊情形，但因经济困难无法委托律师，仍可申请法律援助，需提供经济困难证明（如低保证明、收入证明等）。

2. 申请法律援助的具体流程

   • 刑事案件审判阶段：
     若已被判刑，案件可能处于二审或再审阶段。此时可向审理案件的法院所在地的法律援助机构提出申请，提交身份证、经济困难证明、案件相关材料（如起诉书、判决书等）。
     
   • 与抵押房产相关的民事纠纷：
     若银行因抵押权提起民事诉讼（如要求拍卖房产偿还贷款），需单独申请民事法律援助。流程与刑事案件类似，但需注意民事案件的法律援助范围可能更严格，需符合当地具体规定。

3. 抵押房产的特殊处理

   • 刑事判决对房产的影响：
     若刑事犯罪与房产无关（如诈骗罪但房产系合法抵押），银行仍可依据抵押合同行使权利。若刑事判决涉及房产（如非法所得被查封），需根据判决结果配合执行。
     
   • 法律援助律师的职责：
     律师可协助你与银行协商还款计划、申请暂缓执行或提出执行异议，但无法直接改变抵押合同的法律效力。若房产被拍卖，律师可帮助你主张优先受偿权（如剩余价值分配）。

4. 注意事项

   • 时效性：法律援助申请需在案件审理期间提出，逾期可能无法受理。
     
   • 材料准备：除经济困难证明外，还需提供案件基本材料，以便法律援助机构评估案件复杂性。
     
   • 多途径求助：若法律援助申请未获批，可联系当地工会、妇联或残联等组织，部分情况下可提供补充援助。

建议行动：

1. 立即联系案件审理法院所在地的法律援助中心，咨询具体申请要求；
   
2. 整理个人经济状况证明及案件材料；
   
3. 若涉及民事纠纷，同步准备与银行的沟通记录或还款计划。
   

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我会结合你的具体情况提供更详细的指导。