结论前置：员工在病期（医疗期内）公司一般不可以随意辞退；医疗期满后，若员工不能从事原工作或另行安排的工作，公司可依法解除劳动合同，但需支付经济补偿金。
详细分析：
一、医疗期内的保护
法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第三项规定，员工患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。这意味着，在医疗期内，员工享有法律上的特殊保护，公司不得随意辞退。
医疗期的确定：医疗期的时长根据员工在用人单位的工作年限来确定。具体来说，实际工作年限十年以下，本单位工作年限五年以下为三个月；五年以上为六个月。实际工作年限十年以上，本单位工作年限五年以下为六个月；五年以上十年以下为九个月；十年以上十五年以下为十二个月；十五年以上二十年以下为十八个月；二十年以上为二十四个月。
违法辞退的后果：若公司在法定医疗期内违法辞退员工，将构成违法解除劳动合同，需向员工支付赔偿金。赔偿金标准为经济补偿标准的二倍，经济补偿则按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准来计算。
二、医疗期满后的处理
不能从事原工作或另行安排的工作：若员工在医疗期满后，既无法从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位在提前三十日以书面形式通知员工或额外支付员工一个月工资后，有权解除劳动合同。但此时，用人单位仍需向员工支付经济补偿金。经济补偿金的计算公式为：经济补偿金=工作年限×月工资（工作年限每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿）。
能从事原工作或另行安排的工作：若员工在医疗期满后能够胜任工作，公司无正当理由辞退则属于违法辞退，需承担相应法律责任，包括支付赔偿金等。
三、特殊情况下的辞退
若员工在生病期间存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条所规定的情形，公司有权立即辞退该员工，且无需支付任何经济补偿。但这种情况较为特殊，需要公司有充分的证据证明员工存在上述过错行为。
四、建议与总结
公司角度：公司在处理员工生病期间的劳动关系时，务必谨慎行事，确保合法合规。在医疗期内，除非员工存在严重违纪等特定情形，否则公司不得解除劳动合同。医疗期外，若员工不能胜任工作或存在其他法定过错，公司也需按照法定程序进行辞退，并承担相应的法律责任。
员工角度：员工在生病期间应了解自己的权益和法律保护，若公司违法辞退，可以依法维护自己的合法权益，包括要求继续履行劳动合同、支付赔偿金等。
总之，员工在病期（医疗期内）公司一般不可以随意辞退；医疗期满后，若员工不能从事原工作或另行安排的工作，公司可依法解除劳动合同，但需支付经济补偿金。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。