结论是：这种情况是否受法律保护，取决于你们之间是否形成了合法有效的合同关系，以及对方是否存在违约行为。如果满足一定条件，你是可以通过法律途径来维护自己权益的。 下面我从几个方面详细分析一下：
一、合同关系的认定
书面合同：如果你们之间签订了书面的合同，明确约定了对方为你孩子注册学籍的义务，以及未完成注册时的退费责任，那么这份合同就是你们之间权利义务的明确依据。一旦对方未履行合同义务，即构成违约，你有权要求对方按照合同约定退费。
口头约定：即使你们之间没有签订书面合同，只是进行了口头约定，但如果能够证明这个口头约定的存在（比如有证人、聊天记录等证据），并且这个约定不违反法律法规的强制性规定，那么这个口头约定也是具有法律效力的。对方同样需要按照约定履行义务，否则也构成违约。
二、违约行为的认定
对方承诺为你孩子注册学籍，但最终未能完成注册，这明显违反了你们之间的约定（无论是书面还是口头）。在这种情况下，对方的行为已经构成了违约，你有权要求对方承担违约责任。
三、法律保护的具体方式
协商：你可以首先尝试与对方进行协商，要求对方按照约定退费。这是最为直接和高效的方式，可以避免不必要的法律纠纷。
诉讼：如果协商无果，你可以向法院提起诉讼，要求对方退费并承担违约责任。在诉讼过程中，你需要提供充分的证据来证明你们之间的合同关系以及对方的违约行为。法院会根据事实和法律规定作出判决，保护你的合法权益。
四、需要注意的问题
证据收集：无论是协商还是诉讼，证据都是至关重要的。你需要尽可能收集能够证明你们之间合同关系以及对方违约行为的证据，比如合同、聊天记录、转账记录等。
时效问题：根据《中华人民共和国民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。因此，你需要在知道或应当知道自己的权利受到侵害之日起三年内提起诉讼，否则可能会丧失胜诉权。
建议：你可以先尝试与对方进行协商，要求退费。如果协商无果，再考虑向法院提起诉讼。在诉讼过程中，务必注意证据的收集和时效问题。如果你对具体的法律程序或证据收集有疑问，可以直接向我咨询，我会为你提供更详细的法律指导。