遛狗不牵绳的行为确实涉及行政执法责任，以下是对此问题的详细分析：

1. 公安机关的管理与处罚责任：

   • 主要职责：公安机关是处理遛狗不牵绳行为的主要执法机关。依据《中华人民共和国治安管理处罚法》，对于饲养动物干扰他人正常生活、造成恐吓或伤害他人的行为，公安机关有权进行处罚。具体处罚措施包括警告、罚款（通常在200元至500元之间），若情节严重，还可能面临更严厉的治安处罚。
   • 实际应用：例如，若某人在公共场所遛狗不牵绳，导致他人受到惊吓或轻微伤害，公安机关在接到报警后，会依法对狗主人进行警告或罚款处理。

2. 城市管理部门的辅助管理责任：

   • 职责范围：城市管理部门（如综合执法局）在遛狗不牵绳的问题上也扮演着重要角色。他们主要负责城市市容和环境卫生的综合管理，当遛狗不牵绳导致狗随地大小便等影响环境卫生的情况时，城市管理部门有权依据相关管理规定进行处理。
   • 实际应用：若某人在城市街道上遛狗不牵绳，且狗随地排泄，城市管理部门在接到举报或巡查发现后，会要求狗主人清理排泄物，并可能根据相关规定进行罚款。

3. 动物卫生监督机构的监管责任：

   • 主要职责：动物卫生监督机构负责动物防疫及相关监督管理工作。如果遛狗不牵绳且犬只未按规定进行免疫接种，可能对公共卫生安全构成威胁，此时动物卫生监督机构可以依法进行处理，包括责令改正、给予警告，并可处以相应罚款。
   • 实际应用：若某人的狗未按规定接种狂犬病疫苗，且在遛狗时未牵绳，动物卫生监督机构在接到举报或检查发现后，会要求狗主人立即带狗去接种疫苗，并可能根据相关规定进行罚款。

4. 其他可能的行政责任：

   • 除了上述三个主要部门外，根据地方性法规或规章，还可能有其他行政部门对遛狗不牵绳行为进行监管和处罚。例如，某些地区可能规定由街道办事处或居委会等基层组织进行日常管理和劝导。

5. 公众监督与举报途径：

   • 公众对于遛狗不牵绳的行为可以选择报警，由警方依法处理。同时，也可以拨打12345市民热线或当地城市管理部门的举报电话进行反映，以便相关部门及时介入处理。

建议与总结：

• 遵守法律法规：作为狗主人，应严格遵守相关法律法规，外出遛狗时务必牵绳，并确保犬只已进行免疫接种，以维护公共秩序和他人安全。
• 增强法律意识：了解并熟悉当地关于养犬管理的规定，避免因无知而违法。
• 积极配合执法：若因遛狗不牵绳被相关部门查处，应积极配合执法工作，接受处罚并改正错误。

遛狗不牵绳不仅可能引发行政处罚，还可能对他人造成伤害并引发民事纠纷。因此，作为狗主人，应严格遵守相关规定，确保自己和他人的安全。若您有任何关于遛狗不牵绳或其他法律问题的疑问，可以直接向我咨询。