结论：当起诉人（债权人）去世，被起诉人（债务人）欠的钱仍然可以追讨，但具体追讨方式和责任主体会根据不同情况有所变化。以下是详细分析：
一、若债务人仍然在世
债权继承：
- 债权人去世后，其债权可以作为遗产由继承人继承。继承人取得债权后，有权向债务人追讨欠款。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产是公民死亡时遗留的个人合法财产，包括债权。继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。
追讨方式：
- 继承人可以与债务人协商还款事宜，达成还款协议。
- 若协商不成，继承人可以向法院提起诉讼，要求债务人偿还欠款。
二、若债务人已经去世
遗产继承人承担责任：
- 如果债务人去世时留有遗产，且存在合法继承人，那么继承人需在继承遗产的实际价值范围内清偿债务人的债务。
- 法律依据：同样依据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。
特殊情况下的责任主体：
- 保证人：如果债务存在保证人，且保证合同明确约定了保证责任，那么无论债务人是否去世，保证人都需按合同约定承担相应的保证责任。
- 债务人的配偶：如果债务是用于夫妻共同生活，则被视为夫妻共同债务。在债务人去世后，其配偶需承担债务的偿还责任。
- 遗产管理人：如果设有遗产管理人，且其未按照法律规定妥善处理遗产债务问题，债权人可以起诉遗产管理人，要求其从遗产中清偿债务。
追讨流程：
- 确认债务和继承人情况：首先，需要确认债务的真实性和有效性，以及债务人的遗产状况和继承人范围。
- 与继承人协商（可选）：在提起诉讼前，可以尝试与继承人沟通协商，说明债务情况，提出还款方案，并签订书面协议（如达成一致）。
- 提起诉讼：如果协商不成，或者继承人拒绝承担责任，可以向法院提起诉讼，要求继承人在遗产范围内承担清偿责任。在提起诉讼时，需要准备起诉状、债权凭证、债务人死亡证明及继承人身份证明等材料。
三、注意事项
诉讼时效：
- 注意三年普通诉讼时效的限制，自知道或应当知道权利受损之日起计算。避免因超过诉讼时效而丧失追讨欠款的权利。
财产保全：
- 如果发现继承人或相关责任主体有转移资产的行为，可以及时向法院申请诉前或诉中财产保全，以确保后续执行程序的顺利进行。
执行风险：
- 即使胜诉，如果债务人的遗产不足以清偿全部债务，也可能面临无法全额受偿的风险。因此，在追讨欠款前，需要对债务人的遗产状况进行充分调查和评估。
总结与建议：当起诉人去世后，被起诉人欠的钱仍然可以追讨。具体追讨方式和责任主体会根据债务人是否在世、是否存在合法继承人以及债务的性质等因素而有所不同。在追讨欠款时，建议充分了解相关法律法规和程序要求，并咨询专业律师（即我本人，章商秋子律师，专注于经济纠纷、婚姻家庭领域）以获取更准确的法律意见和指导。