关于催收提出的“还一期能申请半年延期还款”的说法，这并非一个具有普遍约束力的法律规则或标准流程，其可行性需结合具体情况分析。以下是从不同角度为你详细剖析：
一、从合同约定角度
若借款合同中有明确约定：如果你们在最初的借款合同中，已经明确约定了在特定条件下（如借款人偿还一期款项后），出借人同意给予借款人一定期限的延期还款权利，那么催收提出的这一说法就是有合同依据的。在这种情况下，只要你按照约定偿还了一期款项，出借人（或其委托的催收方）就应当遵守合同约定，给予你半年的延期还款期限。
若借款合同中无明确约定：如果借款合同中没有这样的约定，那么催收提出的这一说法就缺乏合同依据。此时，出借人（或其委托的催收方）并没有法律义务必须同意你的延期还款申请，即使你偿还了一期款项。
二、从协商一致角度
双方协商一致：即使借款合同中没有明确约定延期还款的事项，你和出借人（或其委托的催收方）仍然可以通过协商达成一致，约定在你偿还一期款项后，给予你半年的延期还款期限。这种协商一致的结果，同样具有法律效力，双方都应当遵守。
协商不一致：如果双方无法就延期还款的事项达成一致，那么催收提出的这一说法就无法实现。此时，你需要按照借款合同的约定，按时偿还剩余款项，否则可能面临违约责任。
三、从法律后果角度
若延期还款申请被同意：如果你成功获得了延期还款的批准，那么在延期期间内，你不需要按照原借款合同的约定偿还剩余款项。但是，你仍然需要遵守延期还款协议中的其他约定，如支付延期利息等。
若延期还款申请被拒绝或未达成一致：如果你未能获得延期还款的批准，或者双方未能就延期还款的事项达成一致，那么你需要按照原借款合同的约定，按时偿还剩余款项。否则，出借人（或其委托的催收方）有权采取法律手段追讨欠款，包括但不限于起诉、申请强制执行等。
四、建议与提醒
仔细审查借款合同：在面对催收提出的延期还款申请时，你首先需要仔细审查借款合同中的相关条款，了解自己的权利和义务。
与出借人或催收方积极沟通：如果你希望获得延期还款的批准，建议与出借人或其委托的催收方进行积极沟通，说明自己的实际情况和还款意愿，争取达成一致。
谨慎对待口头承诺：如果催收方只是口头承诺给予你延期还款的期限，而没有形成书面协议或合同条款，那么你需要谨慎对待。因为口头承诺往往缺乏法律效力，一旦出现纠纷，你可能难以维护自己的权益。
寻求专业法律帮助：如果你在处理延期还款事宜时遇到困难或疑问，建议及时寻求专业律师的帮助。律师可以根据你的具体情况，为你提供专业的法律建议和解决方案。
总之，催收提出的“还一期能申请半年延期还款”的说法并非绝对可行，其可行性需结合借款合同中的约定、双方协商一致的结果以及相关法律法规的规定来综合判断。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。