在首次申请鉴定后，若存在以下情形，当事人可以申请重新进行二次鉴定：
一、民事、行政案件中的情形
根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第四十条，在民事、行政案件中，当事人申请重新鉴定，人民法院应当准许的情形包括：
鉴定人不具备相应资格：
- 若鉴定机构或鉴定人员不具备相关的鉴定资质，例如超出其核准的鉴定业务范围进行鉴定，或鉴定人员未取得从事该类鉴定所需的专业资格证书，当事人可以申请重新鉴定。
鉴定程序严重违法：
- 鉴定过程若违反相关法律法规和鉴定程序规则，如未严格审查鉴定材料，应回避的鉴定人员未回避，或鉴定操作不符合技术规范，当事人有权申请重新鉴定。
鉴定意见明显依据不足：
- 若鉴定所依据的科学原理、方法、标准有误，或鉴定所基于的事实材料虚假、错误，导致鉴定意见与实际情况严重不符，当事人可以申请重新鉴定。
鉴定意见不能作为证据使用的其他情形：
- 如鉴定意见存在逻辑矛盾、前后不一致，或与其它证据冲突且无法合理解释，当事人同样可以申请重新鉴定。
特殊情形：若一方当事人自行委托有关部门作出鉴定意见，而另一方当事人有充分证据反驳并申请重新鉴定的，人民法院也应予准许。
二、刑事案件中的情形
在刑事案件中，若对首次鉴定意见有异议，申请重新鉴定的主要情形包括：
鉴定意见存在错误或瑕疵：
- 首次司法鉴定若存在程序不合法、方法不科学、结论与其他证据相矛盾等明显问题，当事人可以申请重新鉴定。
发现新的相关鉴定材料：
- 若在原鉴定过程中未发现或未提供的关键材料后来出现，且这些新材料可能影响鉴定结果的准确性，如新发现的毒品样本特征与原鉴定不同，当事人可以申请重新鉴定。
原鉴定使用的技术方法存在问题：
- 随着科技发展，若原鉴定所采用的技术方法被证明存在缺陷或不准确，如早期笔迹鉴定方法后被证实误差率高，当事人可以申请重新鉴定。
鉴定机构或鉴定人不具备资质：
- 若首次鉴定的机构或鉴定人缺乏相应专业资质，或有违规行为，其鉴定意见可能不被法院采纳，当事人可以申请重新鉴定。
当事人对鉴定意见有合理异议：
- 若当事人对首次鉴定意见提出异议，并能提供合理的理由和依据支持自己的观点，如指出鉴定过程中的疏忽或错误，当事人可以申请重新鉴定。
申请流程与注意事项：
- 当事人需向司法机关提交书面申请，详细阐述重新鉴定的理由和依据。
- 司法机关将依法审查，决定是否准许重新鉴定。
- 二次司法鉴定非随意行为，必须严格遵守法定程序和规定。
法律依据：
- 《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第四十条：当事人申请重新鉴定，存在下列情形之一的，人民法院应当准许:（一）鉴定人不具备相应资格的；（二）鉴定程序严重违法的；（三）鉴定意见明显依据不足的；（四）鉴定意见不能作为证据使用的其他情形。存在前款第一项至第三项情形的，鉴定人已经收取的鉴定费用应当退还。拒不退还的，依照本规定第八十一条第二款的规定处理。对鉴定意见的瑕疵，可以通过补正、补充鉴定或者补充质证、重新质证等方法解决的，人民法院不予准许重新鉴定的申请。重新鉴定的，原鉴定意见不得作为认定案件事实的根据。
在申请二次司法鉴定时，请务必确保符合上述法定情形，并准备好充分的理由和依据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。