结论前置：将购买的烟花爆竹放在私家车后备箱被交警抓到，是否会被罚款取决于多个因素，包括是否取得运输许可、是否违反地区管制规定以及行为性质和运输范围等。若未取得相应许可或违反规定，则可能面临罚款等法律责任。
详细分析：
运输许可要求：
- 根据《烟花爆竹安全管理条例》，经由道路运输烟花爆竹必须获得公安部门的许可。这意味着，即使您只是将少量烟花爆竹放在私家车后备箱用于个人燃放，如果没有获得相关许可，也属于违法行为。
- 非法运输烟花爆竹者，将面临由公安部门责令停止非法运输活动，并处以1万元以上5万元以下的罚款，同时没收非法运输的物品及违法所得。若情节严重，还可能面临治安管理处罚甚至刑事责任。
地区管制规定：
- 部分地区对烟花爆竹实行区域性管制，禁止从外地自行采购并运输回本地区。这是为了保障本地市场的安全管理和产品质量追溯体系的有效运行。
- 如果您所在的地区有此类管制规定，而您违反规定将烟花爆竹运输回本地区，那么即使您获得了运输许可，也可能因违反地区管制规定而面临法律责任。
行为性质与运输范围：
- 将购买的烟花爆竹放在私家车后备箱，若仅为个人正常燃放且数量有限，这种行为在性质上更倾向于被视为“携带”而非“运输”。然而，这种界定并非绝对，具体还需结合当地执法实践和规定来判断。
- 个人使用私家车携带烟花爆竹应仅限于短途、自用范围。如需跨区域或上高速运输，则必须依法申请并获得相应许可。否则，即使数量有限，也可能因违反运输范围规定而面临法律责任。
法律建议：
- 在购买和运输烟花爆竹前，务必了解并遵守当地关于烟花爆竹运输、销售和燃放的具体规定。这包括了解是否需要获得运输许可、是否违反地区管制规定以及运输范围等限制。
- 如需运输烟花爆竹，应向相关部门申请并获得运输许可。这是合法运输烟花爆竹的必要条件，也是避免法律责任的关键。
- 在运输过程中严格遵守相关规定，确保安全运输。这包括使用专业运输车辆（如可能）、妥善包装烟花爆竹以防止损坏或引发危险等。
- 如果您对当地的规定或运输许可申请流程有任何疑问，可以直接向我咨询。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议和指导。
综上所述，将购买的烟花爆竹放在私家车后备箱被交警抓到是否会被罚款，取决于多个因素。为确保合法性和安全性，建议您在购买和运输烟花爆竹时严格遵守相关法律法规和当地规定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。