结论：卖淫被拘留一天，通常不会留下案底，但会留下违法记录；罚款300元是行政处罚的一种形式。以下是对此问题的详细分析：

1. 关于案底：

   • 案底定义：案底通常指的是犯罪记录，即因犯罪行为被法院判处刑罚后留下的记录。这种记录会伴随个人一生，并在特定情况下（如求职、出国等）可能被查询。
   • 拘留与案底的关系：拘留，特别是行政拘留，是公安机关对违反治安管理行为人的一种行政处罚措施，它并不等同于犯罪判决。因此，单纯的行政拘留（如因卖淫被拘留一天）通常不会留下案底。但需要注意的是，这种拘留记录会在公安机关内部留存，作为个人违法记录的一部分。

2. 关于罚款：

   • 罚款性质：罚款是行政处罚的一种形式，用于对违反治安管理或其他行政法规的行为人进行经济制裁。
   • 罚款300元的依据：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，卖淫行为属于违反治安管理的行为，公安机关有权对行为人处以罚款。罚款的数额根据违法行为的性质、情节以及社会危害程度等因素确定。因此，罚款300元是公安机关根据法律规定对卖淫行为人作出的行政处罚。

3. 违法记录的影响：

   • 内部留存：虽然卖淫被拘留一天不会留下案底，但公安机关会将其作为违法记录留存。这意味着，在未来的某些情况下（如再次违法、申请某些特殊许可等），这份记录可能会被查询并作为参考。
   • 社会影响：尽管违法记录不会公开，但它在一定程度上可能影响个人的社会声誉和信用评价。特别是在一些对个人品德要求较高的场合（如求职、婚恋等），这份记录可能会成为他人考虑的因素之一。

4. 法律建议：

   • 遵守法律：首先，我强烈建议所有人遵守法律法规，不参与任何违法活动，包括卖淫等违反治安管理的行为。
   • 了解法律后果：在做出任何行为之前，了解其可能的法律后果是非常重要的。这有助于避免不必要的法律风险和麻烦。
   • 寻求法律帮助：如果因某种原因涉及到了法律问题，不要惊慌失措。及时寻求专业的法律帮助是解决问题的关键。作为专业律师，我擅长处理婚姻家庭和诈骗犯罪等领域的法律问题，如果你有任何疑问或需要帮助，请随时向我咨询。

综上所述，卖淫被拘留一天通常不会留下案底，但会留下违法记录；罚款300元是行政处罚的一种形式。我建议所有人遵守法律法规，不参与任何违法活动，并在涉及法律问题时及时寻求专业的法律帮助。