在极端思想影响下实施违法犯罪行为，在法律表述和定性上通常会结合行为人的主观动机、行为性质及社会危害性等多方面因素进行综合判断。以下是具体分析：

1. 法律定性角度
   极端思想本身并非法律术语，但若行为人因受极端思想（如恐怖主义、极端宗教主义、邪教思想等）影响而实施犯罪，司法机关会重点审查其主观故意。例如：

   • 若行为人以传播极端思想、煽动暴力或破坏社会秩序为目的实施犯罪（如组织、领导恐怖活动组织罪），可能被认定为具有“政治目的”或“极端主义动机”，从而构成特定类型的犯罪；
     
   • 若极端思想仅作为行为背景或诱因，但行为本身符合其他犯罪构成要件（如故意杀人、故意伤害罪），则可能按普通犯罪定性，但极端思想可能作为量刑情节（如从重处罚）予以考虑。

2. 司法实践中的表述方式
   在法律文书中，司法机关通常会这样表述：

   • “受极端思想蛊惑/影响，实施……”：强调行为人的主观动机与极端思想的关联性；
     
   • “以极端思想为指导，策划/实施……”：突出极端思想对犯罪行为的支配作用；
     
   • “为宣扬极端思想，采取……”：若犯罪目的与传播极端思想直接相关，可能构成特定罪名（如煽动分裂国家罪）。
     

3. 量刑与责任认定
   极端思想的影响可能对量刑产生双重效果：

   • 从重情节：若极端思想导致犯罪手段特别残忍、社会危害性极大（如恐怖袭击），可能被认定为“情节特别恶劣”而从重处罚；
     
   • 责任能力认定：需结合行为人是否具备完全刑事责任能力（如是否因极端思想陷入精神障碍）综合判断，但实践中极端思想通常不被视为减轻责任的理由。

4. 法律条文依据
   我国《刑法》虽未直接规定“极端思想犯罪”，但相关罪名可涵盖此类行为：

   • 第一百二十条（组织、领导、参加恐怖组织罪）；
     
   • 第二百四十九条（煽动民族仇恨、民族歧视罪）；
     
   • 第三百条（组织、利用邪教组织破坏法律实施罪）。
     此外，若极端思想与普通犯罪结合（如故意杀人），可能按对应罪名处罚，但极端思想可能作为量刑时的“其他恶劣情节”。

总结：极端思想影响下的违法犯罪行为，法律上会通过主观动机、行为性质及社会危害性进行综合定性，表述时需突出极端思想与犯罪的关联性，并依据具体罪名和情节量刑。若您遇到相关案件或需要进一步分析，可直接向我咨询具体细节。