结论：申请遗弃罪并非一个简单的“何时可以”的问题，而是需要满足一定的法律构成要件和程序要求。一般来说，当存在符合遗弃罪构成要件的行为，且受害者或相关方希望追究行为人的刑事责任时，可以向公安机关报案，进而可能触发刑事诉讼程序，其中会涉及对遗弃罪的认定和追究。
法律背景与构成要件：
遗弃罪，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。要构成遗弃罪，需要满足以下几个要件：
主体要件：行为人必须是负有扶养义务的人，如父母对子女、子女对父母、配偶之间等。
客观要件：行为人实施了拒绝扶养的行为，且情节恶劣。这通常表现为不提供生活来源、不给予必要的照料、不履行扶养义务等。
主观要件：行为人必须出于故意，即明知自己有扶养义务而拒绝履行。
申请（报案）与追究程序：
报案：当发现有人符合遗弃罪的构成要件时，受害者本人（如果具备行为能力）或其近亲属、其他相关方（如社区工作人员、社会福利机构等）可以向公安机关报案。
立案侦查：公安机关在接到报案后，会进行初步调查，如果认为有犯罪事实发生且需要追究刑事责任，会立案侦查。
审查起诉：侦查终结后，公安机关会将案件移送检察机关审查起诉。检察机关会审查案件事实是否清楚、证据是否充分、是否符合起诉条件等。
审判：如果检察机关决定起诉，案件将进入审判阶段。法院会依法审理案件，并根据事实和法律作出判决。
法律建议与注意事项：
及时报案：一旦发现有人可能构成遗弃罪，应及时向公安机关报案，以便尽早启动刑事诉讼程序，保护受害者的合法权益。
收集证据：在报案前或报案过程中，应尽可能收集相关证据，如照片、视频、证人证言等，以证明行为人的遗弃行为及其情节恶劣程度。
寻求法律援助：如果受害者或相关方在报案或诉讼过程中遇到困难或问题，可以寻求法律援助或咨询专业律师，以获取更专业的法律帮助和指导。
注意程序合法性：在追究遗弃罪的过程中，应严格遵守法律程序和规定，确保程序的合法性和正当性。
可能的法律后果：
如果行为人被认定构成遗弃罪，将面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役或管制等。同时，行为人还可能需要承担民事赔偿责任，如支付扶养费、医疗费等。
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