公司辞退员工是否需要支付赔偿，主要取决于辞退的具体原因、方式以及双方劳动合同的约定。以下是对此问题的详细分析：
一、公司无需支付赔偿的情形
过失性辞退：
- 若劳动者存在严重过错，如试用期不符合录用条件、严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害、与其他用人单位建立劳动关系影响本职工作且拒不改正、以欺诈或胁迫手段订立劳动合同、被依法追究刑事责任等，公司可解除劳动合同且无需支付经济补偿。例如，员工多次无故旷工，严重违反了公司的考勤制度，公司有权依据规章制度辞退该员工，且无需支付赔偿。
特殊情况下的合法解除：
- 如员工开始享受基本养老保险待遇，劳动合同自然终止，公司无需支付经济补偿。
二、公司需要支付经济补偿的情形
非过失性辞退：
- 在以下情况下，公司需提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并支付经济补偿：
- 劳动者患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作。例如，员工因长期患病无法继续从事原岗位工作，且公司无法为其安排其他合适岗位，此时公司需支付经济补偿后解除劳动合同。
- 劳动者不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任。如员工经过培训后仍无法达到岗位要求的业绩标准，公司可解除劳动合同并支付经济补偿。
- 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且协商未果。例如，公司因业务调整需要撤销某个部门，导致该部门员工的劳动合同无法继续履行，且双方未能就变更劳动合同内容达成协议，此时公司需支付经济补偿后解除劳动合同。
经济性裁员：
- 因公司重整、生产经营困难等原因需裁减人员，且满足特定人数比例，经法定程序后可裁减并支付经济补偿。例如，公司因市场环境变化导致经营困难，需要裁减一定比例的员工以降低成本，此时公司需按照法定程序进行裁员，并支付相应的经济补偿。
其他情形：
- 包括劳动合同期满且不续订、公司被宣告破产或吊销营业执照等导致劳动合同终止的情况。在这些情况下，公司也需支付经济补偿。
三、公司需要支付赔偿金的情形
- 若公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无正当理由辞退员工、未按照法定程序进行裁员等，劳动者有权要求继续履行合同或支付赔偿金。赔偿金按经济补偿标准的二倍计算，具体数额根据劳动者工龄、工资水平等因素确定。例如，公司无故辞退一名在公司工作多年的老员工，且未支付任何经济补偿，此时员工有权要求公司支付赔偿金。
四、特别注意事项
- 劳动合同约定：双方劳动合同中可能包含特定的解约条款和赔偿责任。若合同中明确规定公司在某些情况下需支付赔偿金，则无论是否有合法辞退理由，均需按合同约定履行赔偿责任。因此，在签订劳动合同时，双方应仔细阅读合同条款，明确各自的权利和义务。
- 法律程序：在实际操作中，如遇辞退纠纷，劳动者应了解并遵守相关法律程序，如申请调解、仲裁或提起诉讼等。同时，公司也应确保辞退行为的合法性和正当性，避免引发不必要的法律纠纷。
总结来说，公司辞退员工后的赔偿问题需根据具体情况判断。若您面临此类问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。