拖欠工人工资的问题，主要由劳动监察部门（隶属于各地的劳动和社会保障局/厅）和劳动争议仲裁机构负责管理，必要时也可通过人民法院进行诉讼解决。以下是具体的管理部门及其职责和处理方式：
劳动监察部门
- 职责：劳动监察部门是负责监督检查用人单位遵守劳动保障法律法规情况的主要机构，其中包括对工资支付情况的监督。
- 处理方式：当劳动者遭遇工资拖欠时，可以向当地的劳动监察大队投诉，并提交劳动关系及欠薪证据，如劳动合同、工资条、考勤记录等。劳动监察部门将依法进行调查处理，责令用人单位限期支付拖欠的工资；如果用人单位逾期不支付，劳动监察部门还可以责令其按应付金额50%以上100%以下的标准向劳动者加付赔偿金。
劳动争议仲裁机构
- 职责：劳动争议仲裁机构负责受理并裁决劳动者与用人单位之间的劳动争议，包括因工资支付问题产生的争议。
- 处理方式：如果劳动者与用人单位之间就工资支付存在争议，如工资数额、计算方式等分歧，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁委员会将根据双方提供的证据和相关法律法规作出裁决，要求用人单位支付拖欠的工资及可能的经济补偿。如果劳动者对仲裁裁决不服，还可以向人民法院提起诉讼。
人民法院
- 适用情形：在经过劳动争议仲裁程序后，如果当事人对仲裁裁决不服，或者用人单位拒不执行仲裁裁决，劳动者可以向人民法院提起诉讼。此外，在特定情况下，劳动者也可以直接向人民法院申请支付令。
- 处理方式：人民法院将按照民事诉讼程序进行审理，并根据事实和法律作出判决。对于申请支付令的情况，人民法院会对申请进行审查，符合条件的会在15日内向用人单位发出支付令。如果用人单位在规定期限内既不提出书面异议又不履行支付令，劳动者可以向人民法院申请强制执行。
综合建议：
- 劳动者在遭遇拖欠工资问题时，应首先保持冷静，收集并整理好所有与工资支付相关的证据材料。
- 根据实际情况选择合适的维权途径，优先考虑向劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁，这些途径通常效率较高且成本较低。
- 如果问题复杂或处理无果，必要时可通过法律途径向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
在整个过程中，劳动者应保持与相关部门或组织的沟通联系，及时了解处理进展，并积极配合提供必要的协助和信息。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。