核心结论：农药未经厂家允许授权在网上销售，可能面临行政处罚、民事赔偿以及刑事处罚，具体处罚情况需根据违法行为的性质、情节及后果综合判断。以下从这三个方面展开详细说明：

1. 行政处罚

   • 依据：根据《农药管理条例》第四十四条，未取得农药登记证或者农药临时登记证，擅自生产、经营农药的，或者生产、经营已撤销登记的农药的，由农业行政主管部门责令停止生产、经营，没收违法所得，并处违法所得1倍以上10倍以下的罚款；没有违法所得的，并处10万元以下的罚款；情节严重的，由发证机关吊销农药登记证或者农药临时登记证。此外，若该行为同时违反《电子商务法》等相关规定，还可能面临市场监管部门的处罚，如责令改正、罚款等。
   • 情节认定：行政处罚的轻重通常与违法所得金额、销售数量、持续时间、是否造成严重后果等因素有关。例如，若销售金额巨大或造成严重环境污染、农作物损害等后果，处罚将更为严厉。

2. 民事赔偿

   • 依据：若未经授权销售农药的行为侵犯了厂家的商标权、专利权等知识产权，或构成不正当竞争，厂家有权依据《商标法》、《专利法》、《反不正当竞争法》等相关法律规定，要求销售者承担停止侵害、赔偿损失等民事责任。
   • 赔偿范围：赔偿范围通常包括直接经济损失（如因侵权行为导致的销量减少、价格下降等）和合理维权费用（如律师费、公证费等）。若因销售不合格农药造成他人人身损害或财产损失的，销售者还需承担相应的侵权责任。

3. 刑事处罚

   • 依据：若未经授权销售农药的行为情节严重，构成犯罪的，将依法追究刑事责任。例如，若销售者明知是假农药、劣质农药而销售，或者销售金额达到一定数额，可能构成生产、销售伪劣产品罪或生产、销售伪劣农药罪。
   • 量刑标准：根据《刑法》第一百四十七条，生产假农药、劣质农药，使生产遭受较大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处销售金额百分之五十以上二倍以下罚金；使生产遭受重大损失的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处销售金额百分之五十以上二倍以下罚金；使生产遭受特别重大损失的，处七年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处销售金额百分之五十以上二倍以下罚金或者没收财产。

建议：若您或他人涉及未经授权销售农药的行为，建议立即停止销售，并主动与厂家协商解决授权问题。若已面临法律纠纷或处罚，建议及时咨询专业律师，以便更好地维护自身合法权益。