教育局可以对涉事教师做出行政处罚，但需视具体情节和后果而定。以下从不同角度进行分析：

一、法律依据与处罚种类

根据《中华人民共和国教师法》第三十七条，教师有下列情形之一的，由所在学校、其他教育机构或者教育行政部门给予行政处分或者解聘：

1. 故意不完成教育教学任务给教育教学工作造成损失的；
2. 体罚学生，经教育不改的；
3. 品行不良、侮辱学生，影响恶劣的。

虽然该条款未直接提及教师推搡同事的行为，但若推搡行为构成“品行不良、影响恶劣”的情形，教育行政部门（如教育局）有权依据此条款对涉事教师进行行政处分。行政处分通常包括警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等。

二、情节与后果的考量

1. 情节轻微：如果教师推搡同事的行为情节轻微，未造成严重后果，且涉事教师态度诚恳，愿意改正，教育局可能会选择较为轻微的行政处分，如警告或记过，并辅以批评教育。

2. 情节严重：如果推搡行为导致同事受伤，或者在学校内造成恶劣影响，如引发学生恐慌、家长投诉等，教育局可能会考虑给予更严厉的行政处分，如降级、撤职甚至开除。

三、程序与救济途径

1. 调查程序：教育局在作出行政处罚前，通常会进行调查，收集证据，听取涉事教师、同事及相关人员的陈述和申辩，确保处罚决定的公正性和合法性。

2. 救济途径：如果涉事教师对教育局的行政处罚决定不服，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，维护自己的合法权益。

四、实际案例参考

在实际操作中，类似教师推搡同事的行为，如果情节严重，确实有可能受到教育局的行政处罚。例如，某地一名教师因与同事发生争执并推搡对方，导致对方受伤，该教师最终被教育局给予记过处分，并调离原工作岗位。

总结与建议：

教育局在处理教师推搡同事的事件时，会综合考虑行为的情节、后果以及涉事教师的态度等因素，依法作出行政处罚决定。作为教师，应当遵守职业道德和法律法规，尊重同事，避免发生类似行为。如果遇到此类问题，建议涉事教师及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以便更好地维护自己的合法权益。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。