结论：女方跟对方住了半个月，仅这一事实本身并不直接构成起诉男方的法定理由。是否可以起诉男方，需结合具体诉求和事实情况来判断。以下从不同角度进行分析：
一、若女方想以“同居关系”为由主张权益
法律背景：
- 在我国法律体系中，同居关系本身并不直接产生特定的法律权利和义务，除非双方形成了事实上的抚养、赡养等关系，或者同居期间有共同财产的积累等。
- 单纯的同居行为，并不构成起诉的直接理由，除非女方能证明同居期间男方存在过错（如暴力、虐待、遗弃等）或者双方有共同财产需要分割。
法律建议：
- 如果女方想以同居关系为由主张权益，需要收集相关证据，如共同生活的照片、视频、证人证言等，以证明双方存在同居事实。
- 同时，女方需要明确自己的具体诉求，如要求分割共同财产、要求男方承担抚养责任等，并根据诉求收集相应的证据。
二、若女方想以“男方存在过错”为由起诉
法律背景：
- 如果男方在同居期间存在过错行为，如暴力、虐待、遗弃、与他人同居等，女方可以依据这些过错行为提起诉讼，要求男方承担相应的法律责任。
- 例如，如果男方对女方实施了家庭暴力，女方可以依据《反家庭暴力法》的规定，向人民法院申请人身安全保护令，并提起离婚诉讼（如果双方已结婚）或要求男方承担侵权责任（如果双方未结婚）。
法律建议：
- 女方需要收集男方存在过错行为的证据，如医疗记录、报警记录、证人证言、照片、视频等。
- 女方可以根据自己的具体情况，选择向公安机关报案、向人民法院提起诉讼或申请调解等方式来维护自己的权益。
三、若女方想以“解除同居关系”为由起诉（虽不常见，但理论上可行）
法律背景：
- 解除同居关系本身并不直接涉及法律诉讼，因为同居关系并不受法律特别保护。
- 但是，如果双方在同居期间有共同财产或子女抚养等问题需要解决，女方可以通过诉讼的方式要求分割共同财产或确定子女抚养权。
法律建议：
- 如果女方想解除同居关系并解决相关问题，需要收集相关证据，如共同财产的证明、子女的出生证明等。
- 女方可以咨询专业律师，了解具体的诉讼流程和注意事项，并根据自己的情况制定合适的诉讼策略。
总结与进一步建议：女方跟对方住了半个月，并不直接构成起诉的法定理由。是否可以起诉男方，需结合女方的具体诉求和事实情况来判断。如果女方有法律上的疑问或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询，我会根据女方的具体情况提供专业的法律建议。