结论：开车不小心把人压死了，即便私底下进行了赔偿且未通过公安处理，仍然可能构成刑事责任。是否承担刑事责任，主要取决于事故责任认定以及是否构成交通肇事罪等犯罪构成要件，赔偿并不能完全免除刑事责任。
分析说明：
刑事责任与民事赔偿的区别：
- 刑事责任：是指行为人因其犯罪行为所应承受的，由司法机关代表国家所确定的否定性法律后果。它涉及的是对犯罪行为的惩罚和制裁。
- 民事赔偿：是指因侵权行为或违约行为等造成他人损害时，行为人应承担的赔偿责任。它主要关注的是对受害者的经济补偿。
交通肇事罪的构成要件：
- 根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条，违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，构成交通肇事罪。
- 这意味着，即使进行了民事赔偿，如果行为符合交通肇事罪的构成要件，仍然可能面临刑事责任的追究。
私底下赔偿的影响：
- 私底下赔偿并不能改变事故的性质和责任认定。它只是行为人对受害者的一种经济补偿方式，不能作为免除刑事责任的依据。
- 如果事故构成交通肇事罪，即使已经进行了赔偿，司法机关仍然会根据事故的具体情况、行为人的过错程度等因素，决定是否追究其刑事责任。
事故责任认定的关键性：
- 事故责任认定是判断是否构成交通肇事罪的重要依据。它通常由交通管理部门或司法机关根据事故现场勘查、证人证言、监控录像等证据进行综合判断。
- 如果行为人被认定为主要责任或全部责任，且事故造成了严重后果（如人员死亡），那么其很可能构成交通肇事罪。
后续行动建议：
- 立即报警并配合调查：在发生交通事故后，应立即报警并配合交通管理部门的调查工作。这是履行公民义务、确保事故得到公正处理的重要步骤。
- 咨询专业律师：如果事故可能涉及刑事责任，建议尽快咨询专业律师（如我，田晏泽律师，专注于刑事辩护等领域），了解自己的权利和义务，以及可能面临的法律后果。
- 积极赔偿并争取谅解：虽然赔偿不能完全免除刑事责任，但积极赔偿并争取受害者或其家属的谅解，可以在一定程度上减轻刑事处罚的幅度。
特殊场景：
- 如果事故是由于不可抗力或意外事件导致的，且行为人已经尽到了合理的注意义务，那么可能不构成交通肇事罪。但这种情况需要具体分析，并由司法机关进行认定。
关联法规：
- 《中华人民共和国刑法》第一百三十三条：违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。
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