针对“公开道歉拒不执行能否申请行政处罚或者拘留”的问题，结论如下：
若公开道歉是行政处罚决定的一部分，拒不执行可能面临行政处罚的加重或变更，但一般不直接导致拘留
- 法律依据：根据《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定，行政处罚的种类包括警告、罚款、没收违法所得、没收非法财物、责令停产停业、暂扣或者吊销许可证、暂扣或者吊销执照、行政拘留等。若公开道歉是作为行政处罚决定中的一项内容（例如，因侮辱、诽谤等行为被要求公开道歉作为处罚的一部分），而当事人拒不执行，行政机关通常不会直接因此对当事人进行拘留，但可能会根据原处罚决定的性质和情节，考虑加重处罚或变更处罚方式，如增加罚款金额、采取更严格的监管措施等。然而，在特定情况下，如果拒不执行行政处罚决定的行为本身构成了新的违法行为（如妨碍公务等），则可能面临行政拘留等处罚。
若公开道歉是民事判决或调解协议中的内容，拒不执行可能面临民事强制执行措施，但一般不直接涉及行政处罚或拘留
- 法律依据：在民事纠纷中，如果公开道歉是法院判决或调解协议中要求被告履行的义务，而被告拒不执行，原告可以向法院申请强制执行。法院在执行过程中，可以采取多种措施，如查封、扣押、冻结财产，限制高消费，纳入失信被执行人名单等，以迫使被告履行义务。但这一过程主要涉及民事强制执行措施，并不直接涉及行政处罚或拘留。不过，如果被告在执行过程中有妨碍执行、逃避执行等行为，法院可以根据情节轻重对其予以罚款、拘留；构成犯罪的，依法追究刑事责任。这里的拘留是司法拘留，与行政拘留性质不同。
特殊情况下的行政拘留
- 特殊情形：虽然公开道歉本身通常不直接导致行政拘留，但在某些特殊情况下，如果拒不执行公开道歉的要求与妨碍公务、扰乱公共秩序等行为相关联，且情节严重，那么当事人可能因这些行为而面临行政拘留。例如，如果当事人因侮辱、诽谤他人被要求公开道歉，但在执行过程中采取暴力、威胁等方法阻碍执行人员执行职务，或者聚众闹事、冲击执行现场等，就可能构成妨碍公务等违法行为，从而面临行政拘留等处罚。
法律建议：
- 如果您因某种原因被要求公开道歉，并且这是行政处罚决定或民事判决、调解协议中的一部分，建议您认真对待并按时履行。拒不执行可能会给您带来不必要的法律麻烦和后果。
- 如果您认为公开道歉的要求不合理或存在争议，可以通过合法途径提出异议或申诉，而不是简单地拒不执行。
- 如果您在执行过程中遇到任何问题或困难，建议及时咨询专业律师以获取法律帮助和指导。
可能后果：
- 拒不执行行政处罚决定中的公开道歉要求，可能导致行政处罚的加重或变更，以及可能的民事强制执行措施。
- 拒不执行民事判决或调解协议中的公开道歉要求，可能导致被纳入失信被执行人名单、限制高消费等民事强制执行措施，以及可能的司法拘留（如果存在妨碍执行等行为）。
- 在特殊情况下，如果拒不执行公开道歉的要求与妨碍公务、扰乱公共秩序等行为相关联且情节严重，可能面临行政拘留等处罚。